（精）3-5 线性子空间的基和维数.ppt

§5 线性子空间的基与维数 基的定义、基的验证 可以表示所有向量的线性无关向量组 基的存在性、性质 存在（无穷多） 基之间的线性表示关系 每一组基所含向量的个数相等（维数） 维数和秩的概念 基的概念 例题5.1 例题 5.2 关于基的说明 理论结果(1) 维数，秩 理论结果(2) 例题 5.5 引理 5.2的证明 引理 5.2的证明(2) 定理 5.3的证明 推论 5.4的证明 命题 5.5的证明 命题5.6的证明 * * 且表示方式唯一, 定义 5.1. 设 W是 V的一个 (线性)子空间, 证明: 且表示方式唯一, 则W中元素可表示成 下证表示方式唯一. 基于上面的讨论, 我们得到结论: 1) 个数足够多. proof 定理 5.3. 设W 是 V上的一个非零子空间, 则 W 中有一组基. proof 推论 5.4 设 W 是 V 上的一个非零子空间, 则W 的所有 基都含有相同数目的向量. proof 例 5.3 proof proof 证明: 由于V 的维数为 n, 只要证明向量组线性无关即可. 以向量组的坐标为列的矩阵的行列式 证: 令 下证存在不全为零的 使得 考虑齐次线性方程组 由rs可得上述齐次方程组有非零解. 则有 back 定理 5.3. 设W 是 V上的一个非零子空间, 则 W 中有一组基. 证明: 由于V中的线性无关向量组中向量的个数不超过n, 于是 back 推论 5.4 设 W 是 V 上的一个非零子空间, 则W 的所有 基都含有相同数目的向量. 证明： 所以 r = s. back 证明: back *