（精）MATLAB系列第一章建立数学模型.ppt

数学模型的分类 应用领域 人口、交通、经济、生态、… 数学方法 初等数学、微分方程、规划、统计、… 表现特性 描述、优化、预报、决策、… 建模目的 了解程度 白箱 灰箱 黑箱 确定和随机 静态和动态 线性和非线性 离散和连续 第一章 建立数学模型 1.1 从现实对象到数学模型 1.2 数学建模的重要意义 1.3 数学建模示例 1.4 数学建模的方法和步骤 1.5 数学模型的特点和分类 1.6 怎样学习数学建模 玩具、照片、飞机、火箭模型… ~ 实物模型 水箱中的舰艇、风洞中的飞机… ~ 物理模型 地图、电路图、分子结构图… ~ 符号模型 模型是为了一定目的，对客观事物的一部分 进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物. 模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征. 1.1 从现实对象到数学模型 我们常见的模型 你碰到过的数学模型——“航行问题” 用 x 表示船速，y 表示水速，列出方程： 答：船速为20km/h. 甲乙两地相距750km，船从甲到乙顺水航行需30h， 从乙到甲逆水航行需50h，问船的速度是多少? x=20 y =5 求解 航行问题建立数学模型的基本步骤 作出简化假设（船速、水速为常数）； 用符号表示有关量（x, y表示船速和水速）； 用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以 时间）列出数学式子（二元一次方程）； 求解得到数学解答（x=20, y=5）； 回答原问题（船速为20km/h）. 数学模型 (Mathematical Model) 和 数学建模（Mathematical Modeling) 对于一个现实对象，为了一个特定目的， 根据其内在规律，作出必要的简化假设， 运用适当的数学工具，得到的一个数学表述. 建立数学模型的全过程 （包括表述、求解、解释、检验等） 数学模型 数学建模 1.2 数学建模的重要意义 电子计算机的出现及飞速发展； 数学以空前的广度和深度向一切领域渗透. 数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步， 越来越受到人们的重视. 在一般工程技术领域, 数学建模仍然大有用武之地； 在高新技术领域, 数学建模几乎是必不可少的工具； 数学进入一些新领域，为数学建模开辟了许多处女地. “数学是一种关键的、普遍的、可以应用的技术”. 数学“由研究到工业领域的技术转化，对加强经济竞争力具有重要意义”. “计算和建模重新成为中心课题，它们是数学科学技术转化的主要途径” . 数学建模的重要意义 数学建模的具体应用 分析与设计 预报与决策 控制与优化 规划与管理 数学建模 计算机技术 知识经济 如虎添翼 1.3 数学建模示例 1.3.1 椅子能在不平的地面上放稳吗 问题分析 模型假设 通常 ~ 三只脚着地 放稳 ~ 四只脚着地 四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形; 地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面; 地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地. 模型构成 用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来. 椅子位置 利用正方形(椅脚连线)的对称性. x B A D C O D′ C ′ B ′ A ′ 用?(对角线与x轴的夹角)表示椅子位置. 四只脚着地 距离是?的函数. 四个距离(四只脚) A,C 两脚与地面距离之和 ~ f(?) B,D 两脚与地面距离之和 ~ g(?) 两个距离 ? 椅脚与地面距离为零 正方形ABCD 绕O点旋转 正方形对称性 用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来. f(?) , g(?)是连续函数 对任意?, f(?), g(?)至少一个为0 数学问题 已知： f(?) , g(?)是连续函数 ; 对任意?， f(?) ? g(?)=0 ; 且 g(0)=0， f(0) 0. 证明：存在?0，使f(?0) = g(?0) = 0. 模型构成 地面为连续曲面 椅子在任意位置至少三只脚着地 模型求解 给出一种简单、粗糙的证明方法 3）由 f, g 的连续性知 h为连续函数, 据连续函数的基本性质, 必存在?0 ( 0 ?0 ?/2) , 使h(?0)=0, 即 f(?0) = g(?0) . 1）将椅子旋转90o，对角线AC和BD互换. 由 g(0)=0，f(0) 0，知 f(?/2)=0, g(?/2)0. 2）令 h(?)= f(?)–g(?), 则 h(0)0 和 h(?/2)0. 4）因为 f(?) ? g(?)=0, 所以 f(?0) = g(?0) = 0. 1.3.2 商人们怎样安全过河 问题(智力游戏) ? ? ? 3名商人 ? ? ? 3名随从 随从们密约, 在河的任一岸, 一旦