（精）大一高数之函数.ppt

1、幂函数 2、指数函数 (0，1) 3、对数函数 （1，0） 4、三角函数 正弦函数 余弦函数 y= sinx，y =cos x 的定义域是（－∞，＋∞），值域是[－ 1，1]，以2π为最小周期，有界函数. 正切函数 余切函数 5、反三角函数 渐近线 渐近线 把常数函数，幂函数，指数函数，对数函数，三角函数和反三角函数统称为 基本初等函数. 例5 解 两个函数和的定义域，是这两个函数定义 域公共部分. 中间变量 自变量 四、复合函数 基本初等函数 分解复合函数原则: 观察各层函数是否为基本初等函数或多项式函数. 初等函数:由基本初等函数经过有限次四则运算和复合运算构成的函数并可用一个式子表示的函数. 表面形式复杂,但依然是初等函数. 指数函数 幂函数 多项式函数 注意: 1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的. 2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成. 中间变量 中间变量 自变量 × 把一个复合函数分成不同层次的函数,叫做复合 函数的分解. 分段函数:不能用统一的代数式表示的函数.如: 须注意: ☆ 分段函数不是初等函数. ☆ 分段函数不可认为是若干函数的和, 也不是几个函数,而是一个函数.只是 随着自变量 x 取不同范围的值,函数的 表达式不同. 综上所论: 五、MM 能力培养 数学模型方法简称MM方法.构建数学模型, 欣赏数学模型, 进而借鉴数学模型是解决实际问题的能力. 构建函数模型的步骤与方法: 1)对实际问题的现实原型进行分析,判断所属 的系统,如:力学系统、电学系统、心理学系统 等.分析量的主要矛盾,屏弃次要矛盾,保留两 个主要变量及常量,考察是否有可借用的公 式、定理.如果没有,还须通过观察、实验等 科学方法探询有关量之间的关系. 2)采用数学符号，建立自变量和因变量以 及相关常量之间的等量关系，解出因变量，并判明自变量有意义的变化范围，便得函数模型. 3) 在模型上进行必要的逻辑推理和演算，求得解答，再返回到实际问题进行检验. 例6 人口模型 已知1978年底我国人口为9.6259亿，当年的自然增长率为12.00‰.若将次增长率作为年均增长率计算，那么到2005年底我国人口将是多少？ 解 设 t 年后我国人口为p，那么 一年后人口为 9.6259+9.6259×12‰ = 9.6259×(1+12 ‰) 2年后人口为 9.6259 ×( 1+12‰ ) +9.6259×(1+12‰) × 12‰ = 9.6259×(1+12‰) 2 …… …… t 年后人口为p＝9.6259×(1+12‰) t 即根据1978年的数据,可推算出2005年底 我国人口为13.22亿. 马尔萨斯（malthus，英，1776 — 1834）根据上述模型提出了他的人口理论，这一模型只适用于生物种群的生存环境较为优雅宽松的情况.当生物种群数量增长到一定值时，恶化的生态环境将抑制种群数量的增长，进而出现负增长，此时马尔萨斯人口模型就不适用了. 六、应用 例7 连续复利问题： 在银行存款所得利息的计算公式为： 利息 I =本金 A×存期 t×利率 r. 解 设有本金 A，计息期每期利息利率 r， 计息期数（存期）t .若每期结算1次， 则 t 期后的本利和为 这是单利公式，如果计算复利，即到 期利息计入本金继续计息，那么应该 如何计算利息？ 如果，即按照每个瞬间“即存即算”来计算本利和，则归结为求极限 这个求极限问题将在第二章的应用中 介绍. 例8 用函数关系探测古墓的年代 考古人员研究了长沙马王堆一号古墓，发 解 已知放射性物质C14的半衰期为5570 年， 现了棺盖板是由杉木做成的，并且盖板所含 的C14放射性物质和现代杉木的C14的比值为 76.7%，问此古墓是什么时候建的？ 并且生物体死亡后C14的含量b为原始含量 a随时间的变化满足下面的函数关系： 例9 生物的繁衍 经过长时间的研究，生物学家测定某 地区鲸鱼数 y (头)和时间 t (年)的关系 为 如果从1984年算起（t = 0），哪一年此 群鲸鱼数为100头？ 例10 反函数的应用 某人从美国到加拿大去度假，他把美元兑换成加拿大元时，币面值增加12%，回美国后他发现，把加拿大元兑换成美元时币面值减