（精）仿射坐标系.ppt

§2　仿射坐标系 向量法的优点在于比较直观，但是向量的运算不如数 的运算简洁，为了取长补短，我们给向量引进坐标，同 时也给点引进坐标，把向量法与坐标法结合起来使用。 1.标架、向量和点的坐标 2.用坐标作向量的线性运算 * * 1.标架、向量和点的坐标 空间中任意三个有次序的不共面的向量组 称为空间中的一个基。根据定理1.2,对于空间中任一向 量 ，存在唯一的数组（ ）,使 我们把有序三元实数组( )称为 在基 下的坐标，记为 。 在空间中任意取定一点O，任意一点M与向量 一一对应，我们把向量 称为点M的位置向量（或径 矢）。 定义2.1 空间中一个点O和一组基 合在一起称 为空间的一个仿射标架或仿射坐标系，简称标架，记 为 ，其中，O称为原点， 称为坐 标向量。对于空间中任一点M，把它的位置向量 在基 下的坐标称为点M在仿射标架 中的坐标。若 ，则点M的坐标记为 。 由定义2.1知，点M在 中的坐标为 当且仅当 以后我们把向量 在基 中的坐标也称为 在 仿射标架 中的坐标。 空间中取定一个标架后，可知，空间中全体 向量的集合与全体有序三元实数组的集合之间就建立了 一一对应；通过位置向量，空间中全体点的集合与全体 有序三元实数组的集合之间也建立了一一对应的关系。 设 为空间的一个标架，过原点O，且分 别以 为方向的有向直线分别称为x轴、y轴、z轴， 统称为坐标轴。由每两条坐标轴决定的平面称为坐标平 面，它们分别是xOy,yOz,zOx平面。坐标平面把空间分 成八个部分，称为八个卦限（图1.10）， 在每个卦限内，点的坐标的符号 不变。 O 图1.10 x y z I II III IV V VI VII VIII 将右手四指（拇指除外）从x轴方向弯向y轴方向 （转角小于π），如果拇指所指的方向与z轴方向在xOy 平面的同侧，则称此坐标系为右手系，否则称为左手系 （图1.11）。 右手系 左手系 图1.11 O O 定义2.2 如果 是两两垂直的单位向量， 则 称为直角标架或直角坐标系。 直角标架是特殊的仿射标架。点（或向量）在直 角标架中的坐标称为它的直角坐标，在仿射标架中的坐 标称为它的仿射坐标。 2.用坐标作向量的线性运算 取定标架 ，设 ，则容易证明下列命题 命题2.1 (1) . (2) (3)对于任意实数 ，有 . 定理2.1 向量的坐标等于其终点坐标减去其始点坐 标。 证明 对于向量 ，设 ， 则 因为 ， 所以 设向量 ，那么我们有 定理2.2 共线当且仅当