（精）高等代数课件(北大三版)--第八章 欧氏空间.ppt

8.1 向量的内积 一、内容分布 8.1.1向量的内积、欧氏空间的定义 8.1.2向量的长度、两非零向量的夹角 8.1.3两向量正交、正交向量组的定义、性质 二、教学目的： 1．准确理解并掌握以下概念及其基本性质：向量的内积、欧氏空间、向量的长度、单位向量、两非零向量的夹角、两向量正交、两向量的距离． 2．掌握常见的几种欧氏空间；会用向量的内积及欧氏空间的定义判断向量ξ与η的内积ξ,η，以及向量空间关于这个内积构成欧氏空间． 3．掌握 8.1.1向量的内积、欧氏空间的定义 8.1.2 向量的长度、两非零向量的夹角 8.1.3 向量的正交 8.2 正交基 一、内容分布 8.2.1正交组的定义、性质 8.2.2标准正交基的定义、性质及存在性 8.2.3子空间的正交补 8.2.4正交矩阵的概念 8.2.5 n维欧氏空间同构的概念及判别 二、教学目的： 1．准确理解和掌握正交向量组、n维欧氏空间的标准正交基等概念及基本性质． 2．能熟练运用施密特正交化方法，由一个线性无关向量组求出一个标准正交向量组 3．能掌握一个向量与一个非空子集正交、子空间的正交补的概念及基本性质，并会求某些子空间的正交补． 4．掌握正交矩阵的概念及其与标准正交基的关系． 5．掌握n维欧氏空间同构的概念及基本理论． 三、重点难点：正交向量组、n维欧氏空间的标准正交基等概念; 子空间的正交补的概念及基本性质;施密特正交化方法 8.2.1正交组的定义、性质 8.2.2标准正交基的定义、性质及存在性 8.3 正交变换 8.4 对称变换和对称矩阵 如果在T中左上角的元素是1，那么重新排列基向量，σ关于 的矩阵是 如果左上角的元素是 – 1 ，那么σ关于基 的矩阵是 这样， 的任意正交变换σ关于某一正交基  的矩阵是下列的三种类型之一： 　　在第一种情形,σ是绕通过 的直线 的一个旋转；在第二种情形,σ是对于平面 的反射；第三种情形,σ是前两种变换的合成. 思考题 设 是欧氏空间V的一个标准正交基,试求正交变换σ,使σ适合 练习 设V是一个欧氏空间, 是一个非零向量,对于 , 规定V的一个变换 证明:τ是V的一个正交变换,且 ι是单位变换. 一、内容分布 8.4.1 对称变换的定义 8.4.2 对称变换和对称矩阵之间的关系 8.4.3 对称变换的性质 二、教学目的： 1．掌握对称变换的概念，能够运用对称变换和对称矩阵之间的关系解题． 2．掌握对称变换的特征根、特征向量的性质． 3．对一个实对称矩阵Ａ，能熟练地找到正交矩阵Ｔ，使  为对角形 三、重点难点： 1.对称变换和对称矩阵之间的关系;对称变换的特征根、特征向量的性质; 2.对实对称矩阵Ａ，能熟练地找到正交矩阵Ｔ，使 为对角形 8.4.1 对称变换的定义 定义1 设σ是欧氏空间V的一个线性变换，如果对于V中的任意向量 ，等式 成立，那么就称σ是一个对称变换. 例1 以下 的线性变换中,指出哪些是对称变换? 8.4.2 对称变换和对称矩阵之间的关系 定理8.4.2 设σ是n维欧氏空间V的一个对称变换，如果σ关于一个标准正交基的矩阵是对称矩阵，那么σ是一个对称变换. 证 设σ关于V的一个规范正交基 的矩阵 是对称的，令 是V的任意向量。那么 同样的计算可得 因为 所以 即σ是一个对称变换。 8.4.3 对称变换的性质 定理8.4.3 实对称矩阵的特征根都是实数. 证 设 是一个n 阶实对称矩阵.令λ是A 在复数域内一个特征根。于是存在不全为零的复数 使得 （2） 第二步，先取 然后令 第三步，取 再令 于是 就是 的一个规范正交基。 练习1 设 试把 的基 的一个基,并将它标准正交化. 扩充成 8.2.3 子空间的正交补 1. 向量与一个非空子集正交 定理8.2.4 令W是欧氏空间V的一个有限维 子空间，那么 因而V的每一个向量ξ可以唯一写成 这里 (7) 设 令 证明 当W