（精）高二数学反证法.ppt

* * * * * * 2.2.2 反证法 直接证明： (1)综合法—— (2)分析法—— 由因导果 执果索因 得到一个明显成立的结论 … P Q1 Q1 Q2 Q2 Q3 Qn Q … 将9个球分别染成红色或白色。那么无论怎样染，至少有5个球是同色的。你能证明这个结论吗？ 引例1： 间接证明： 不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法。 反证法是一种常用的间接证明的方法。 反证法： 假设命题结论的反面成立，经过正确的推理,引出矛盾，因此说明假设错误,从而证明原命题成立,这样的的证明方法叫反证法。 反证法的思维方法： 正难则反 一般地，假设原命题不成立， 经过正确的推理， 最后得出矛盾。 因此说明假设错误，从而证明了原命题成立， 这样的证明方法叫做反证法（归谬法）。 其过程包括： 反设——假设命题的结论不成立； 存真——由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立。 归谬——从假设出发，经过一系列正确的推理，得出矛盾； 归缪矛盾： （1）与已知条件矛盾； （2）与已有公理、定理、定义矛盾； （3）自相矛盾。 例1 已知a≠0，证明x的方程ax=b 有且只有一个根。 应用反证法的情形： (1)直接证明困难; (2)需分成很多类进行讨论． （3)结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个” ---类命题； （4）结论为 “唯一”类命题； 正难则反! 常见否定用语 是－－－不是 有－－－没有 等－－－不等 成立－－不成立 都是－－不都是，即至少有一个不是 都有－－不都有，即至少有一个没有 都不是－部分或全部是，即至少有一个是 唯一－－至少有两个 至少有一个有（是）－－全部没有（不是） 至少有一个不－－－－－全部都 P 例3：证明：圆的两条不全是直径的相交弦不能互相平分. 已知：在⊙O中,弦AB、CD相交于P，且AB、CD不全是直径 求证：AB、CD不能互相平分。 A B C D O 用反证法证明：圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。 已知：如图，在⊙O中，弦AB、CD交于点P，且AB、CD不是直径.求证：弦AB、CD不被P平分. 例 1 证明： 假设弦AB、CD被P平分， 连结 AD、BD、BC、AC, D P O B A C 因为弦AB、CD被P点平分，所以四边形ACBD是平行四边形 所以 因为 ABCD为圆内接四边形 所以 因此 所以，对角线AB、CD均为直径， 这与已知条件矛盾，即假设不成立 所以，弦AB、CD不被P平分。 用反证法证明：圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。 已知：如图，在⊙O中，弦AB、CD交于点P，且AB、CD不是直径.求证：弦AB、CD不被P平分. P O B A D C 例 1 由于P点一定不是圆心O，连结OP，根据垂径定理的推论，有 所以，弦AB、CD不被P平分。 证明： 假设弦AB、CD被P平分， 即过点P有两条直线与OP都垂直， 这与垂线性质矛盾，即假设不成立 证法二 OP⊥AB，OP⊥CD， 演练反馈 2、平面内有四个点，没有三点共线， 证明：以任意三个点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形 证明：假设以任意三个点为顶点的三角形都是锐角三角形。记四个 点为A、B、C、D。考虑点D在 之内或之外两种情况。 (1)如果点D在 之内，根据假设， D A B C 都为锐角三角形 所以 这与一个周角为360°矛盾。 演练反馈 2、平面内有四个点，没有三点共线， 证明：以任意三个点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形 (1)如果点D在 之外，根据假设， A D B C 都是锐角三角形，即 这与四边形内角和矛盾。 所以，综上所述，假设不成立，从而题目结论成立。 即这些三角形不可能都为锐角三角形。 总结提炼 1.用反证法证明命题的一般步骤是什么? 用反证法在归谬中所导出的矛盾可以是与题设矛盾,与假设矛盾,与已知定义、公理、定理矛盾，自相矛盾等． ①反设 ②归谬 ③结论 2.用反证法证题,矛盾的主要类型有哪些? 推理 合情推理 演绎推理 （归纳、类比） （三段论） 证明 直接证明 间接证明 （分析法、综合法） （反证法） 数学—公理化思想 例1：用反证法证明： 如果a