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2. 三角函数有理式的积分 3. 简单无理函数的积分 而 结论 有理函数的原函数都是初等函数。 虽然从理论上讲，有理函数总可以分解为部分分 式然后再积分，但是实际上，不能机械地套用这 个原理，而要根据情况，把积分尽量简化。 例32 求 解： 解: 例33 求 例34 求 解: 三角有理式的定义 由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数。一般记为 令 （万能置换公式） 解: 由万能置换公式 例35 求 例36 求 解法一： 解法二： 修改万能置换公式,令 解法三： 可以不用万能置换公式 结论 比较以上三种解法, 便知万能置换不一定是最佳方法, 故三角有理式的计算中先考虑其它手段, 不得已才用万能置换。 例37 求 解: 设 即 例38 求 解: 则 首先讨论类型 解决方法 作代换去掉根号。 例39 求 令 解: 例19 求 解: 例20 求 解: 例21 求 解: 定理3 设 ， 具有连续导数，则 三、分部积分法 （3）式为分部积分公式 或 （3） 证明： 由乘积的求导公式 得 故 或写成 例22 求 如果令 显然， 选择不当，积分更难进行 解: 令 则 容易积出。 要比 (2) 要容易求得； (1) 一般要考虑下面两点： 和 选取 例23 求 解： （再次使用分部积分法） 总结 若被积函数是幂函数和正(余)弦函数或幂函数和指数函数的乘积, 就考虑设幂函数为 ,使其降幂一次(假定幂指数是正整数)。 例24 求 解： 例25 求 解：令 例26 求 解: 当分部积分公式比较熟练之后，就不必再把 和 写出来了，只要把被积表达式凑成 的形式，便可使用分部积分法。 总结 如果被积函数是幂函数与对数函数的乘积或幂函数与反三角函数的乘积，可设 为对数函数或反三角函数. 例27 求 解： 又解： 总结 若被积函数是指数函数与三角函数的乘积，则 可任选，但应注意接连几次应用分部积分公 式时所选的 应为同类型函数。 例28 求 解： 四、几类特殊函数的积分 两个多项式的商表示的函数。 有理函数的定义 其中 都是非负整数； 及 都是实数，并且 1.有理函数的积分 假定分子与分母之间没有公因式 这有理函数是真分式； 这有理函数是假分式。 有理函数有以下性质 1）利用多项式除法, 假分式可以化成一 个多项式和一个真分式之和。 例如，我们可将 化为多项式与真分式之和 其中 都是待定的常数。 2）在实数范围内真分式总可以分解 成几个最简式之和。 最简分式是下面两种形式的分式 特殊地： 分解后为 3）有理函数化为部分分式之和的一般规律： （1）分母中若有因式 ，则分解后为 其中 都是待定的常数 （2）分母中若有因式 ，其中 则分解后为 其中 i i N M , 都是待定的常数 ) , , 2 , 1 ( k i L = 特殊地： 分解后为 例29 方法一（比较系数法) 方法二（赋值法） 令 得 令 得 两种方法都能得到 例30 例31 求 解: 有理真分式的积分归结为求下面四种类型 的部分分式的积分： (1) (3) (2) (4) 下面逐一给出他们的求法 (1) (2) 当 时, (3) 当 时, (4) 当 且 时, 这里 记 则 即 第五节 不定积分的计算 一 第一类换元积分法 二 第二类换元积分法 三 分部积分法 四 几类特殊函数的积分 一、第一类换元积分法 设 则 如果 （可微） 由此可得不定积分的一个重要特性——积分形式的不变形。 （1） 定理1 设 具有原函数 ， 可 导，则有以下公式 2.使用公式(1)的关键在于将 化为 ， 进而化为 说明：1. 定理1