（精）高数同济六版课件D7_6高阶线性微分方程.ppt

第六节 一、二阶线性微分方程举例 例2. n 阶线性微分方程的一般形式为 二、线性齐次方程解的结构 说明: 定义: 两个函数在区间 I 上线性相关与线性无关的充要条件: 定理 2. 三、线性非齐次方程解的结构 定理 4. 定理 5. 例3. 例4. *四、常数变易法 情形2. 例5. 例6. * 目录 上页 下页 返回 结束 高阶线性微分方程 二、线性齐次方程解的结构 三、线性非齐次方程解的结构 *四、常数变易法 一、二阶线性微分方程举例 第七章 当重力与弹性力抵消时, 物体处于 平衡状态, 例1. 质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上, 力作用下作往复运动, 解: 阻力的大小与运动速度 下拉物体使它离开平衡位置后放开, 若用手向 物体在弹性力与阻 取平衡时物体的位置为坐标原点, 建立坐标系如图. 设时刻 t 物位移为 x(t). (1) 自由振动情况. 弹性恢复力 物体所受的力有: (虎克定律) 成正比, 方向相反. 建立位移满足的微分方程. 据牛顿第二定律得 则得有阻尼自由振动方程: 阻力 (2) 强迫振动情况. 若物体在运动过程中还受铅直外力 则得强迫振动方程: 求电容器两两极板间电压 联组成的电路, 其中R , L , C 为常数 , 所满足的微分方程 . 解: 设电路中电流为 i(t), 的电量为 q(t) , 自感电动势为 由电学知 根据回路电压定律: 设有一个电阻 R , 自感L ,电容 C 和电源 E 串 极板上 在闭合回路中, 所有支路上的电压降为 0 ‖ ~ 串联电路的振荡方程: 化为关于 的方程: 故有 ‖ ~ 如果电容器充电后撤去电源 ( E = 0 ) , 则得 方程的共性 (二阶线性微分方程) 例1 例2 — 可归结为同一形式: 时, 称为非齐次方程 ; 时, 称为齐次方程. 复习: 一阶线性方程 通解: 非齐次方程特解 齐次方程通解Y 证毕 是二阶线性齐次方程 的两个解, 也是该方程的解. 证: 代入方程左边, 得 (叠加原理) 定理1. 不一定是所给二阶方程的通解. 例如, 是某二阶齐次方程的解, 也是齐次方程的解 并不是通解 但是 则 为解决通解的判别问题, 下面引入函数的线性相关与 线性无关概念. 是定义在区间 I 上的 n 个函数, 使得 则称这 n个函数在 I 上线性相关, 否则称为线性无关. 例如， 在(?? , ?? )上都有 故它们在任何区间 I 上都线性相关; 又如， 若在某区间 I 上 则根据二次多项式至多只有两个零点 , 必需全为 0 , 可见 在任何区间 I 上都 线性无关. 若存在不全为 0 的常数 线性相关 存在不全为 0 的 使 ( 无妨设 线性无关 常数 思考: 中有一个恒为 0, 则 必线性 相关 (证明略) 线性无关 是二阶线性齐次方程的两个线 性无关特解, 数) 是该方程的通解. 例如, 方程 有特解 且 常数, 故方程的通解为 (自证) 推论. 是 n 阶齐次方程 的 n 个线性无关解, 则方程的通解为 则 是二阶非齐次方程 的一个特解, Y (x) 是相应齐次方程的通解, 定理 3. 则 是非齐次方程的通解 . 证: 将 代入方程①左端, 得 ② ① 是非齐次方程的解, 又Y 中含有 两个独立任意常数, 例如, 方程 有特解 对应齐次方程 有通解 因此该方程的通解为 证毕 因而 ② 也是通解 . 分别是方程 的特解, 是方程 的特解. (非齐次方程之解的叠加原理) 定理3, 定理4 均可推广到 n 阶线性非齐次方程. 是对应齐次方程的 n 个线性 无关特解, 给定 n 阶非齐次线性方程 是非齐次方程的特解, 则非齐次方程 的通解为 齐次方程通解 非齐次方程特解 常数, 则该方程的通解是 ( ). 设线性无关函数 都是二阶非齐次线 性方程 的解, 是任意 提示: 都是对应齐次方程的解, 二者线性无关 . (反证法可证) 已知微分方程 个解 求此方程满足初始条件 的特解 . 解: 是对应齐次方程的解, 且 常数 因而线性无关, 故原方程通解为 代入初始条件 故所求特解为 有三 复习: 常数变易法: 对应齐次方程的通解: 设非齐次方程的解为 代入原方程确定 对二阶非齐次方程 情形1. 已知对应齐次方程通解: 设③的解为 ③ 由于有两个待定函数, 所以要建立两个方程: ④ ⑤ 令 于是 将以上结果代入方程 ③ : 得 ⑥ 故⑤, ⑥的系数行列式 是对应 齐次方程的解 P10 积分得: 代入③ 即得非齐次方程的通解: 于是得 说明: 将③的解设为 只有一个必须满足的条件即 因此必需再附加 一个条件,