《住房贷款问题模型.docVIP

住房贷款问题模型一、问题的提出 住房问题是目前全国上下大家都关注的热点。由中国印发的《个人住房贷款简介》的小册子中介绍了有关个人住房贷款的有关问题。其中指明贷款额最高为拟购买住房费用总额的70%；贷款期限最长为20年。借款人在借款期内每月以相等的月均还款额偿还银行贷款本金和利息。个人住房贷款利率已给出，同时给出了不同贷款期限下的月均还款额、还款总额和利息负担总和。等额本金还款方式是将本金每月等额偿还，然后根据剩余本金计算利息现在需要做的内容有： 1、根据已知利率，来求不同贷款下的月均还款额、还款总额和利息负担总和；2、根据规定计算月均还款额、还款总额和利息负担总和； 二、问题的假设 假设在借款期内利率都是不变的，都依照款时的利率来计算。 三、四、、模型的建立与求解 月均还款额、还款总额和利息负担总和等额本金还款方式月均还款额、还款总额和利息负担总和 2、模型的建立1）、 等额本息还款方式 等额本金还款，顾名思义就是每个月的还款额是固定的。由于还款利息是逐月减少的，因此反过来说，每月还款中的本金还款额是逐月增加的。 首先，我们先进行一番设定： 设：总贷款额＝Ａ还款次数＝Ｂ还款月利率＝Ｃ 月还款额＝Ｘ当月本金还款＝Ｙｎ（ｎ＝还款月数） 先说第一个月，当月本金为全部贷款额＝Ａ，因此： 第一个月的利息＝Ａ×Ｃ 第一个月的本金还款额 Ｙ１＝Ｘ－第一个月的利息 ＝Ｘ－Ａ×Ｃ 第一个月剩余本金＝总贷款额－第一个月本金还款额 ＝Ａ－（Ｘ－Ａ×Ｃ）＝Ａ×（１＋Ｃ）－Ｘ 再说第二个月，当月利息还款额＝上月剩余本金×月利率 第二个月的利息＝（Ａ×（１＋Ｃ）－Ｘ）×Ｃ 第二个月的本金还款额 Ｙ２＝Ｘ－第二个月的利息 ＝Ｘ－（Ａ×（１＋Ｃ）－Ｘ）×Ｃ 第二个月剩余本金＝第一个月剩余本金－第二个月本金还款额 ＝Ａ×（１＋Ｃ）－Ｘ－（Ｘ－（Ａ×（１＋Ｃ）－Ｘ）×Ｃ） ＝Ａ×（１＋Ｃ）－Ｘ－Ｘ＋（Ａ×（１＋Ｃ）－Ｘ）×Ｃ ＝Ａ×（１＋Ｃ）×（１＋Ｃ）－［Ｘ＋（１＋Ｃ）×Ｘ］ ＝Ａ×（１＋Ｃ）^２－［Ｘ＋（１＋Ｃ）×Ｘ］ (1+C)^2表示(1+C)的2次方 第三个月， 第三个月的利息＝第二个月剩余本金×月利率 第三个月的利息＝（Ａ×（１＋Ｃ）^２－［Ｘ＋（１＋Ｃ）×Ｘ］）×Ｃ 第三个月的本金还款额 Ｙ３＝Ｘ－第三个月的利息 ＝Ｘ－（Ａ×（１＋Ｃ）^２－［Ｘ＋（１＋Ｃ）×Ｘ］）×Ｃ 第三个月剩余本金＝第二个月剩余本金－第三个月的本金还款额 ＝Ａ×（１＋Ｃ）^２－［Ｘ＋（１＋Ｃ）×Ｘ］ －（Ｘ－（Ａ×（１＋Ｃ）^２－［Ｘ＋（１＋Ｃ）×Ｘ］）×Ｃ） ＝Ａ×（１＋Ｃ）^２－［Ｘ＋（１＋Ｃ）×Ｘ］ －（Ｘ－（Ａ×（１＋Ｃ）^２×Ｃ＋［Ｘ＋（１＋Ｃ）×Ｘ］）×Ｃ） ＝Ａ×（１＋Ｃ）^２×（１＋Ｃ） －（Ｘ＋［Ｘ＋（１＋Ｃ）×Ｘ］×（１＋Ｃ）） ＝Ａ×（１＋Ｃ）^３　－［Ｘ＋（１＋Ｃ）×Ｘ＋（１＋Ｃ）^２×Ｘ］ 上式可以分成两个部分 第一部分：Ａ×（１＋Ｃ）^３。 第二部分：［Ｘ＋（１＋Ｃ）×Ｘ＋（１＋Ｃ）^２×Ｘ］ ＝Ｘ×［１＋（１＋Ｃ）＋（１＋Ｃ）^２］ 通过对前三个月的剩余本金公式进行总结，我们可以看到其中的规律： 剩余本金中的第一部分＝总贷款额×（１＋月利率）的ｎ次方，（其中ｎ＝还款月数） 剩余本金中的第二部分是一个等比数列，以（１＋月利率）为比例系数，月还款额为常数系数，项数为还款月数ｎ。 推广到任意月份： 第ｎ月的剩余本金＝Ａ×（１＋Ｃ）^ｎ　－Ｘ×Ｓｎ（Ｓｎ为（１＋Ｃ）的等比数列的前ｎ项和） 根据等比数列的前ｎ项和公式： １＋Ｚ＋Ｚ２＋Ｚ３＋．．．＋Ｚｎ－１＝（１－Ｚ^ｎ）／（１－Ｚ） 可以得出 Ｘ×Ｓｎ＝Ｘ×（１－（１＋Ｃ）^ｎ）／（１－（１＋Ｃ）） ＝Ｘ×（（１＋Ｃ）^ｎ－１）／Ｃ 所以，第ｎ月的剩余本金＝Ａ×（１＋Ｃ）^ｎ－Ｘ×（（１＋Ｃ）^ｎ－１）／Ｃ 由于最后一个月本金将全部还完，所以当ｎ等于还款次数时，剩余本金为零。 设ｎ＝Ｂ（还款次数） 剩余本金＝Ａ×（１＋Ｃ）^Ｂ－Ｘ×（（１＋Ｃ）^Ｂ－１）／Ｃ＝０ 从而得出 月还款额 Ｘ＝Ａ×Ｃ×（１＋Ｃ）^Ｂ÷（（１＋Ｃ）^Ｂ－１） ＝总贷款额×月利率×（１＋月利率）^还款次数÷[剩还款次数－１] 将Ｘ值带回到第ｎ月的剩余本金公式中 第ｎ月的剩余本金＝Ａ×（１＋Ｃ）^ｎ－［Ａ×Ｃ×（１＋Ｃ）^Ｂ／（（１＋Ｃ）^Ｂ－１）］×（（１＋Ｃ）^ｎ－１）／Ｃ ＝Ａ×［（１＋Ｃ）^ｎ－（１＋Ｃ）^Ｂ×（（１＋Ｃ）^ｎ－１）／（（１＋Ｃ）^Ｂ－１）］ ＝Ａ×［（１＋Ｃ）^Ｂ－（１＋Ｃ）^ｎ］／（（１＋Ｃ）^Ｂ－１） 第ｎ月的利息＝第ｎ－１月的剩余本金×月利率 ＝Ａ×Ｃ×［（１＋Ｃ）^Ｂ－（１＋Ｃ）^(ｎ－１)］／（（１＋Ｃ）^Ｂ－１） 第ｎ月的本金还款额＝Ｘ－第ｎ月的利息 ＝Ａ×Ｃ×（１＋Ｃ）^Ｂ／（（１＋Ｃ）^Ｂ－１