彻底弄懂最短路径问题..docx

彻底弄懂最短路径问题 只想说：温故而知新，可以为师矣。我大二的《数据结构》是由申老师讲的，那时候不怎么明白，估计太理论化了(ps：或许是因为我睡觉了)；今天把老王的2011年课件又看了一遍，给大二的孩子们又讲了一遍，随手谷歌了N多资料，算是彻底搞懂了最短路径问题。请读者尽情享用…… 我坚信：没有不好的学生，只有垃圾的教育。不过没有人理所当然的对你好，所以要学会感恩。一.问题引入 问题：从某顶点出发，沿图的边到达另一顶点所经过的路径中，各边上权值之和最小的一条路径——最短路径。解决最短路的问题有以下算法，Dijkstra算法，Bellman-Ford算法，Floyd算法和SPFA算法，另外还有著名的启发式有哪些信誉好的足球投注网站算法A*，不过A*准备单独出一篇，其中Floyd算法可以求解任意两点间的最短路径的长度。笔者认为任意一个最短路算法都是基于这样一个事实：从任意节点A到任意节点B的最短路径不外乎2种可能，1是直接从A到B，2是从A经过若干个节点到B。二.Dijkstra算法 该算法在《数据结构》课本里是以贪心的形式讲解的，不过在《运筹学》教材里被编排在动态规划章节，建议读者两篇都看看。? 观察右边表格发现除最后一个节点外其他均已经求出最短路径。 (1)?? 迪杰斯特拉(Dijkstra)算法按路径长度(看下面表格的最后一行，就是next点)递增次序产生最短路径。先把V分成两组：S：已求出最短路径的顶点的集合V-S=T：尚未确定最短路径的顶点集合 将T中顶点按最短路径递增的次序加入到S中，依据：可以证明V0到T中顶点Vk的最短路径，或是从V0到Vk的直接路径的权值或是从V0经S中顶点到Vk的路径权值之和（反证法可证，说实话，真不明白哦）。 (2)?? 求最短路径步骤初使时令 S={V0},T={其余顶点}，T中顶点对应的距离值，?若存在V0,Vi，为V0,Vi弧上的权值（和ＳＰＦＡ初始化方式不同），若不存在V0,Vi，为Inf。从T中选取一个其距离值为最小的顶点W(贪心体现在此处)，加入S(注意不是直接从S集合中选取，理解这个对于理解vis数组的作用至关重要)，对T中顶点的距离值进行修改：若加进W作中间顶点，从V0到Vi的距离值比不加W的路径要短，则修改此距离值（上面两个并列for循环，使用最小点更新）。重复上述步骤，直到S中包含所有顶点，即S=V为止（说明最外层是除起点外的遍历）。 下面是上图的求解过程，按列来看，第一列是初始化过程，最后一行是每次求得的next点。? (3)?? 问题：Dijkstar能否处理负权边？（来自《图论》） 答案是不能，这与贪心选择性质有关(ps：貌似还是动态规划啊，晕了)，每次都找一个距源点最近的点（dmin），然后将该距离定为这个点到源点的最短路径；但如果存在负权边，那就有可能先通过并不是距源点最近的一个次优点（dmin），再通过这个负权边L(L0)，使得路径之和更小（dmin+Ldmin）,则dmin+L成为最短路径，并不是dmin，这样dijkstra就被囧掉了。比如n=3，邻接矩阵：?0，3，4?3，0，-2?4，-2，0,用dijkstra求得d[1，2]=3，事实上d[1，2]=2，就是通过了1-3-2使得路径减小。不知道讲得清楚不清楚。二.Floyd算法 参考了南阳理工牛帅(目前在新浪)的博客。 Floyd算法的基本思想如下：从任意节点A到任意节点B的最短路径不外乎2种可能，1是直接从A到B，2是从A经过若干个节点到B，所以，我们假设dist(AB)为节点A到节点B的最短路径的距离，对于每一个节点K，我们检查dist(AK) + dist(KB) dist(AB)是否成立，如果成立，证明从A到K再到B的路径比A直接到B的路径短，我们便设置 dist(AB) = dist(AK) + dist(KB)，这样一来，当我们遍历完所有节点K，dist(AB)中记录的便是A到B的最短路径的距离。 很简单吧，代码看起来可能像下面这样：for (int i=0; in; ++i) { for (int j=0; jn; ++j) { for (int k=0; kn; ++k) { if (dist[i][k] + dist[k][j] dist[i][j] ) { dist[i][j] = dist[i][k] + dist[k][j]; } } }} 但是这里我们要注意循环的嵌套顺序，如果把检查所有节点K放在最内层，那么结果将是不正确的，为什么呢？因为这样便过早的把i到j的最短路径确定下来了，而当后面存在更短的路径时，已经不再会更新了。 让我们来看一个例子，看下图： 图中红色的数字代表边的权重。如果我们在最内层检查所有节点K，那么对于A-B，我们只能发现一条路径，就是A-B，路径距离为9，而这显然是不正确