微分方程数值解习题课..doc

微分方程 初值问题数值解 习题课 一、应用向前欧拉法和改进欧拉法求由如下积分 所确定的函数y在点x =0.5,1.0,1.5的近似值。 解：该积分问题等价于常微分方程初值问题 其中h=0.5。其向前欧拉格式为 改进欧拉格式为 将两种计算格式所得结果列于下表 向前欧拉法 改进欧拉法 0 0 0 0 1 0.5 0.5 0.44470 2 1.0 0.88940 0.73137 3 1.5 1.07334 0.84969 二、应用4阶4步阿达姆斯显格式求解初值问题 取步长h=0.1. 解：4步显式法必须有4个起步值，已知，其他3个用4阶龙格库塔方法求出。 本题的信息有： 步长h=0.1；结点； 经典的4阶龙格库塔公式为 算得,, 4阶4步阿达姆斯显格式 由此算出 三、用Euler方法求 问步长应该如何选取，才能保证算法的稳定性？ 解：本题 本题的绝对稳定域为 得，故步长应满足 求梯形方法 的绝对稳定域。 证明：将Euler公式用于试验方程，得到 整理 设计算时有舍入误差，则有 据稳定性定义，要想，只须 因此方法绝对稳定域为复平面的整个左半平面（？），是A-稳定的。 五、对初值问题 证明：用梯形公式 求得的数值解为 并证明当步长时，收敛于该初值问题的精确解 证明：由梯形公式，有 整理，得 由此递推公式和初值条件，有 ，则有在区间上有 ，步长，由前面结果有 由x的任意性，得所证。 六、对于微分方程，已知在等距结点处的y的值为，h为步长。试建立求的线性多步显格式与与隐格式。 解：取积分区间，对两端积分： 对右端作的二次插值并积分 得到线性4步显格式 若对右端在两点上作线性插值并积分，有 由此产生隐格式 七、证明线性多步法 存在的一个值，使方法是4阶的。 解： 由本题的公式，有 当=9时，，局部截断误差是4阶的，故该多步法是4阶方法。 数值积分习题解答说明 1.确定下列求积公式中的参数，使其代数精度尽可能高，并指出对应的代数精度 （1） （2） （3） （4） 6.若用复化梯形公式计算 问区间[0,1]应分成多少等份才能使截断误差不超过 ？若用复化辛普森公式，要达到同样的精度，区间[0,1]应分成多少等份？ 7．如果，证明用梯形公式计算定积分所得结果比准确值I大，说明其几何意义。 10．构造Gauss型求积公式 11.用n=2,3的高斯-勒让德公式计算积分 13.证明等式 试依据的值，用外推算法求π的近似值。 定理 6.4 设函数逼近数的余项为 (6.23) 则由 ，q为任意常数 定义的函数也逼近，且有 17. 确定数值微分公式的截断误差表达式 答 1