微分中值定理及其应用习题课..doc

微分中值定理及其应用习题课 一 基本定理 1）．罗尔中值定理 若函数满足如下条件： （ⅰ）在闭区间上连续； （ⅱ）在开区间内可导； （ⅲ）, 则在内至少存在一点,使得 注 罗尔中值定理主要用于说明有根，关键是要找两点使这两点函数值相等． 注 介值定理主要用于说明有根，关键是要找两点使这两点函数值异号． 证有根 （2）证有根 （3）证根唯一的方法 （4）证有根，经常对用罗尔定理． （5）证至少存在一点，使含的代数式 成立的常用方法是构造辅助函数，然后对辅助函数用罗尔定理． 2）．拉格朗日中值定理 若函数满足如下条件： （ⅰ）在闭区间上连续； （ⅱ）在开区间内可导， 则在（）内至少存在一点，使得 ． 注 看到函数增量，或隐含增量（含条件），经常要考虑拉格朗日中值定理；看到导数有界，经常要考虑拉格朗日中值定理． 3）．柯西中值定理 设函数和满足 （i）上都连续； (ii)在上都可导； (iii)不同时为零； (iv) 则存在，使得 ． 注 看到两个函数的增量，或两个函数导数之比，经常要用柯西中值定理． 4）．泰勒中值定理 若函数在点存在直至阶导数，则有 ． 若函数在上存在直至阶的连续导函数，在内存在阶导函数，则对任意给定的，至少存在一点，使得 ． 注 看到有二阶以上导数，经常要考虑泰勒中值定理． 注 对中值定理为了帮助读者记忆，给出以下口诀 一阶有界用拉格，二阶以上想泰勒； 中值等式罗拉柯，辅助函数逃不脱； 函数增量想拉柯，易积结论用阿罗； 多个中值多次用，把握特征心自得． 二 疑难解答 1．极值与最值有什么区别与联系？ 答1）极值是一个局部概念,因为是函数的极值,是与的某邻域上的函数值比较而言的；而最值是对整个区间而言的,是一个整体概念． 2）闭区间上的连续函数必有最值,且最大值和最小值各有一个,最大值大于最小值（常函数除外）,但可能无极值（因为极值点必在区间的内部，不能是区间的端点，而最值有可能在端点取）．即使有极值,也可能不止一个,极小值也可能大于极大值．因此若(是函数的最值,则不可能是极值;若（）是函数的最值,则一定是极值．即（最值不一定是极值，反之,极值也不一定是最值,极值一般可能很多个,但若极值只有一个,即为最值）． 3）在区间内部的（非端点的）最值点是极值点，且最大值点是极大值点，最小值点是极小值点． 2．极值点与稳定点的关系，极值点可能是哪些点？ 答：1）由费马定理可知,可导的极值点是稳定点． 2）稳定点未必是极值点．例如，为它的稳定点（因为），但由的图像和极值点的定义易知不是的极值点． 3）导数不存在的点也可能是函数的极值点．例如由的图像和极值的定义易知在取得极小值，但在不可导，即极值点未必是稳定点． 极值点有可能是稳定点和不可导的点． 3．导函数的介值定理有什么作用？ 答：据此定理可以了解什么样的函数可能成为其它函数的导函数，那么不具有介值性的函数一定不能做为其它函数的导函数，如具有第一类间断点的函数． 4. 罗尔定理有三个条件，缺少其中一个条件罗尔定理是否成立？如果不成立，能否说这三个条件是罗尔定理的必要条件？ 答 罗尔定理有三个条件，缺少其中一个条件罗尔定理就可能不成立．例如 函数在上不满足罗尔中值定理的条件(1)，因为在点处不连续．由于，所以在开区间内找不到使得等式成立的点，如图，无水平切线(图1)； 函数，在上不满足罗尔中值定理的条件(2)，因为在点处不可导．由于所以在开区间内找不到使得等式成立的点，如图，无水平切线(图2)． 函数．在上不满足罗尔中值定理的条件(3)，因为在区间端点的函数值不相等，即．由于，所以在开区间内找不到使得等式成立的点，如图，无水平切线(图3)． 尽管如此，但是不能说这三个条件是罗尔定理的必要条件．例如，函数 在不连续，在不可导，，但，上点都满足． 5.为什么不将罗尔条件(i)(ii)合并为在上可导？ 答 可以，但条件加强了，就排斥了许多仅满足三个条件的函数．例如函数 ，，显然时，函数不可导（是初等函数，在处没有定义，则原函数在不可导），即不符合加强条件；但它满足定理的三个条件，有水平切线(图) 6.罗尔定理结论中的值唯一吗？ 答 不一定唯一,可能有一个,几个，甚至无限多个． 例如 在上满足罗尔在(-1,1)内存在无限多个使得． 7．拉格朗日公式有哪些等价表示形式？ 答 ①； 注 ，令，则有， ，于是有 ②； 令，则有 ③