微积分复习提纲..doc

2015-2016年第二学期期末考试复习提纲 小题知识点 掌握球面的标准方程与一般方程（P3-4 例2.例3） 会求二元函数的定义域（P13 习题6-2 第4题） 会判断差分方程的阶数（P156 习题8-9 第2题） 会正确设出二阶常系数线性非齐次方程的特解形式（P138 习题8-7 第1题） 会判断微分方程的阶数（P108 例4） 会交换二重积分的积分次序（P56习题6-8 第3题（1）-（3） 会求抽象多元函数的一阶导数（P31 习题-5第7题） 会求幂级数的收敛域（P90例2) 掌握二重积分的性质：=区域D的面积（P46性质3） 熟记等比级数的敛散性（P69 例3） 掌握级数收敛的必要条件并会简单应用：若不等于0，则级数发散(P72 性质4） 大题知识点 会求简单函数的二阶偏导数（P8 例5，例6） 会求三元函数的全微分以及在某点的全微分（P22例3） 会求隐函数的一阶偏导数（P30例8) 会用比较判别法，比值判别法判别正项级数的敛散性（P81 习题7-2 第1题的(1)-(4);第2大题的(1)-(4)； 会判定级数的绝对收敛与条件熟练（P85 习题7-3 第1题(1)-(3)) 会求幂级数的收敛域及和函数（P92 例6;P93 习题7-4 第4题的(1); 会求多元函数的条件极值（P37例7例8;P42 习题6-6 第4题） 会计算直角坐标系下和极坐标系下的二重积分（P50 例1例2;P59 例1例2） 会求一阶线性非齐次方程的通解（P119 例1;P120例2） 会求二阶常系数线性齐次方程的通解与满足初始条件的特解(P133 习题8-6 第2题） 会正确设出二阶常系数线性非齐次方程的特解形式（P135 例1） 一、 1.例2 (E02) 建立球心在点、半径为R的球面方程. 解 设是球面上任一点，根据题意有 特别地:球心在原点时方程为 例3 (E03) 方程表示怎样的曲面？ 解 对原方程配方，得 所以，原方程表示的球心在半径为的球面方程. 例4（E04）试指出下列方程是什么方程，并指出微分方程的阶数. 解 (1) 是一阶线性微分方程，因方程中含有的和都是一次. (2) 是一阶非线性微分方程，因方程中含有的的平方项. (3) 是二阶非线性微分方程，因方程中含有的的三次方. (4) 是二阶非线性微分方程，因方程中含有非线性函数和 例2（E02-03）求下列幂级数的收敛域 解 所以收敛半径 当时，级数成为该级数收敛;当时，级数成为该级数发散. 从而所求收敛域为 (2) 因为故收敛半径即题设级数只在处收敛. (3) 因为 所以收敛半径 所求收敛域为 (4) 令题设级数化为因为 所以收敛半径收敛区间为即 当时，级数成为该级数发散; 当时,级数成为该级数收敛. 从而所求收敛域为 例3（E03）讨论等比级数(又称为几何级数) 的收敛性. 解 当有 若有则 若有则 若有 若则级数变为 易见不存在.综上所述,当时，等比级数收敛,且 例1（E01）讨论—级数的收敛性. 解 时，级数发散. 时，由图可见 即有界，级数收敛. 当时收敛 故级数 . 当时发散 例6 (E06) 求差分方程的通解. 解 由(3)式得，原方程的通解为 二、大题 例5（E05）设, 求 解 例6（E06）求的二阶偏导数. 解 例3 (E03) 求函数 的全微分. 解 由 故所求全微分 例8 (E08) 求由方程所确定的隐函数的偏导数 解 设则且 利用隐函数求导公式，得 例8（E06）求幂级数的和函数. 解 由例4(1)的结果知，题设级数的收敛域为设其和函数为即 显然且 由积分公式得 因题设级数在时收敛，所以 例13 (E07) 求表面积为而体积为最大的长方体的体积. 解 设长方体的三棱长为则问题就是在条件 (1) 下, 求函数的最大值. 作拉格朗日函数 由 代入 (1) 式,得唯一可能的极值点:由问题本身意义知,此点就是所求最大值点.即,表面积为的长方体中,以棱长为的正方体的体积为最大,最大体积 例15 (E08) 设销售收入 (单位:万元)与花费在两种广告宣传的费用(单位:万元) 之间的关系为 利润额相当五分之一的销售收入, 并要扣除广告费用. 已知广告费用总预算金是25万元, 试问如何分配两种广告费用使利润最大? 解 设利润为有 ,限制条件为这是条件极值问题.令 从