微积分定理和公式..doc

一、函数 【定义1.1】 设在某一变化过程中有两个变量和,若对非空集合中的每一点,都按照某一对应规则,有惟一确定的实数与之相对应,则称是的函数,记作 称为自变量,称为因变量,称为函数的定义域,的取值范围即集合称为函数的值域. 平面上点的集合称为函数的图形. 定义域(或记)与对应法则是确定函数的两个要素.因此称两个函数相同是指它们的定义域与对应法则都相同. （二）函数的几何特性 1．单调性 （1）【定义1.2】 设函数在实数集上有定义,对于内任意两点,当 ＜时,若总有≤成立,则称内单调递增（或单增）；若总有 ＜成立,则称在内严格单增,严格单增也是单增.当在内单调递增时,又称内的单调递增函数.单调递增或单调递减函数统称为单调函数. 2．有界性 【定义1.3】 设函数,若存在实数＞0,使得对任意,都有≤,则称在内有界,或称为内的有界函数. 【定义1.4】 设函数,若对任意的实数＞0,总可以找到一,使得＞,则称在内无界,或称为内的无界函数. 【定义1.5】 设函数在一个关于原点对称的集合内有定义,若对任意,都有,则称为D内的奇（偶）函数. 奇函数的图形关于原点对称,当为连续的函数时,=0,即的图形过原点.偶函数的图形关于y轴对称.关于奇偶函数有如下的运算规律： 设为奇函数,为偶函数,则 为奇函数；为偶函数； 非奇偶函数； 为奇函数；均为偶函数. 常数C是偶函数,因此,奇函数加非零常数后不再是奇函数了. 利用函数奇偶性可以简化定积分的计算.对研究函数的单调性、函数作图都有很大帮助. 4．周期性 【定义1.6】 设函数,如果存在非零常数T,使得对任意,恒有成立,则称为周期函数.满足上式的最小正数T,称为的基本周期,简称周期. 我们熟知的三角函数为周期函数(考纲不要求),除此以外知之甚少.是以1为周期的周期函数.与的图形分别如图1-1(a)和图1-1(b)所示. （三）初等函数 1．基本初等函数 （1）常数函数 ,定义域为(-∞,+∞),图形为平行于轴的直线.在轴上的截距为. （2）幂函数 ,其定义域随着的不同而变化.但不论取何值,总在（1,+∞）内有定义,且图形过点（1,1）.当＞0时,函数图形过原点（图1-2） （a） (b) 图1-2 （3）指数函数 ,其定义域为（-∞,+∞）. 当0＜＜1时,函数严格单调递减.当＞1时,函数严格单调递增.子数图形过点（0,1）.微积分中经常用到以为底的指数函数,即（图1-3） （4）对数函数 ,其定义域为（1,+∞）,它与互为反函数.微积分中常用到以e为底的对数,记作,称为自然对数.对数函数的图形过点（1,0）（图1-4） (图1-3) (图1-4) 另有两类基本初等函数：三角函数与反三角函数,不在考纲之内. 对基本初等函数的特性和图形要熟练地掌握,这充分条件判断、导数和定积分应用中都很重要.例如,设″＜0. 则 (1)′在内严格单调减少；（2）在上为凸弧,均不充分. 此题可以用举例的方法来说明（1）、（2）均不充分.由初等函数的图形可知,为凸弧.′=在（－∞,∞＋）上严格单调递减,但″=-12≤0,因此（1）,（2）均不充分,故选E.此题若把题干改成″≤0,则（1）,（2）均充分,差别就在等于零与不等于零.可见用初等函数图形来判断非常便捷. 2．反函数 【定义1.7】 设函数的定义域为,值域为,如果对于每一个,都有惟一确定的与之对应,且满足是一个定义在以为自变量的函数,记作 并称其为反函数. 习惯上用作自变量,作因变量,因此反函数常记为. 函数与反函数的图形关于直线对称. 严格单调函数必有反函数,且函数与其反函数有相同的单调性.互为反函.[0,+∞]的反函数为,而（－∞,0）的反函数为（图1-2（b））. 3．复合函数 【定义1.8】 已知函数.又,uR,若非空,则称函数 为函数的复合函数.其中称为因变量,称为自变量,称为中间变量. 4．初等函数 由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合运算而得到的一切函数统称为初等函数,初等函数在其定义域内有统一的表达式. （四）隐函数 若函数的因变量明显地表示成的形式,则称其为显然函数.等. 设自变量与因变量之间的对应法则用一个方程式表示,如果存在函数（不论这个函数是否能表示成显函数）,将其代入所设方程,使方程变为恒等式： 其中为非空实数集.则称函数由方程所确定的一个隐函数. 如方程可以确定一个定义在[0,1]上的隐函数.此隐函数也可以表示成显函数的形式,即 但并不是所有隐函数都可以用的显函数形式来表示,如因为我法用初等函数表达,故它不是初等