复变函数1-2复数的几何表示教案分析.ppt

第二节 复数的几何表示 一、复平面 6.复数的三角表示和指数表示 二、复球面 三、小结与思考 欧拉资料 * 一、复平面 二、复球面 三、小结与思考 1. 复平面的定义 2. 复数的模(或绝对值) 显然下列各式成立 3. 复数的辐角 说明 辐角不确定. 辐角主值的定义: 4. 利用平行四边形法求复数的和差 两个复数的加减法运算与相应的向量的加减法运算一致. 5. 复数和差的模的性质 利用直角坐标与极坐标的关系 复数可以表示成 复数的三角表示式 再利用欧拉公式 复数可以表示成 复数的指数表示式 欧拉介绍 例1 将下列复数化为三角表示式与指数表示式: 解 故三角表示式为 指数表示式为 故三角表示式为 指数表示式为 故三角表示式为 指数表示式为 例2 解 (三角式) (指数式) 例3 解 例4 证 两边同时开方得 例5 证 两边平方, 并化简得 下面例子表明, 很多平面图形能用复数形式的方程(或不等式)来表示; 也可以由给定的复数形式的方程(或不等式)来确定它所表示的平面图形. 例6 解 所以它的复数形式的参数方程为 例7 证 两边同时平方, 例8 求下列方程所表示的曲线: 解 化简后得 1. 南极、北极的定义 球面上的点, 除去北极 N 外, 与复平面内的点之间存在着一一对应的关系. 我们可以用球面上的点来表示复数. 我们规定: 复数中有一个唯一的“无穷大”与复平面上的无穷远点相对应, 记作 . 因而球面上的北极 N 就是复数无穷大 的几何表示. 球面上的每一个点都有唯一的复数与之对应, 这样的球面称为复球面. 2. 复球面的定义 3. 扩充复平面的定义 包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面. 不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面, 或简称复平面. 对于复数 来说, 实部,虚部,辐角等概念均无意义, 它的模规定为正无穷大. 复球面的优越处: 能将扩充复平面的无穷远点明显地表示出来.