大连理工大学矩阵与数值第1章-矩阵与数值2教案分析.ppt

符号介绍 * * 1.3 向量与矩阵的范数 在讨论实数、复数的大小、误差时，将任意的实数变量或复数变量都与一个非负实数 （2）齐次性 （3）三角不等式 注意到 满足以下三个性质： （1）非负性 当且仅当 时 相联系，用它来度量着变量或误差的大小。 把任意一个向量与一个非负实数联系起来，这个非负实数必须能够度量向量的大小。例如,向量的模(长度). 设想 问题 如何度量一个向量 对另一个向量 的逼近程度? 巧合 向量的模(长度) 也满足三个性质: （3）三角不等式 （2）齐次性 （1）非负性 ;当且仅当 时, 二、研究向量序列、级数的收敛准则 向量范数的主要应用： 一、研究向量值误差估计 由向量长度的三个性质抽象出的概念就是 向量范数 实数域 复数域 维复向量空间 维复矩阵集合 方阵 的谱半径 维实向量空间 维实矩阵集合 的转置 的转置 矩阵 向量 的共轭转置 的共轭转置 向量 矩阵 1.3.1 向量范数 （1）非负性 当且仅当 时 （2）齐次性 （3）三角不等式 则称函数 为 上的一个向量范数． 以及任意复常数 即对任意向量 和 ( 维复向量空间）上的一个非负 ，若该函数满足以下三个条件： 定义在 实值函数，记为 定义1.4 常用的向量范数 表示 的模． 向量 ∞-范数: １-范数: ? = = n i i x 1 1 x 2-范数: P -范数: 以1-范数为例,验证范数定义中的三个条件。 （1）非负性 （2）齐次性 （3）三角不等式 显然 1-范数和2-范数分别是p-范数在ｐ＝１，2时的特例。 而∞-范数是p-范数当 时的极限。事实上, 两边开 次方得 令 ,由夹逼准则,得 例1 求向量 的１，2和∞-范数。 解 例2 求向量 的１，2和∞-范数。 解 对于给定的任意一种向量范数 范数可以表为 ，其加权的 它的每一个分量的权系数。 ,其中 W 为对角矩阵，其对角元便是 加权1-范数为： 例如,对 加权2-范数为： 加权向量范数 例 对任给 ,试问下列实值函数是否构成 向量范数？ 答：1.和2.都不满足非负性条件，不是向量范数； 3.不满足齐次性条件，不是向量范数； 4. 满足加权向量范数的定义，构成向量范数。 向量的１，2和∞-范数的几何意义