复数经典例题教案分析.doc

经典例题透析 类型一：复数的有关概念 例1．已知复数，试求实数a分别取什么值时，z分别为： （1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数. 思路点拨：根据复数z为实数、虚数及纯虚数的概念，判断实部与虚部取值情况.利用它们的充要条件可分别求出相应的a值. 解析： （1）当z为实数时， 有， ∴当时，z为实数. （2）当z为虚数时， 有， ∴当a∈（－∞，－1）∪（－1，1）∪（1，6）∪（6，+∞）时，z为虚数. （3）当z为纯虚数时， 有 ∴不存在实数a使z为纯虚数. 总结升华：由于a∈R，所以复数z的实部与虚部分为与. ①求解第（1）小题时，仅注重虚部等于零是不够的，还需考虑它的实部是否有意义，否则本小题将出现增解； ②求解第（2）小题时，同样要注意实部有意义的问题； ③求解第（3）小题时，既要考虑实数为0（当然也要考虑分母不为0），还需虚部不为0，两者缺一不可. 举一反三： 【变式1】设复数z=a+bi（a、b∈R），则z为纯虚数的必要不充分条件是（ ） A．a=0 B．a=0且b≠0 C．a≠0且b=0 D．a≠0且b≠0 【答案】A；由纯虚数概念可知：a=0且b≠0是复数z=a+bi（a、b∈R）为纯虚数的充要条件.而题中要选择的是必要不充分条件，对照各选择支的情况，应选择A. 【变式2】若复数是纯虚数，则实数的值为（ ） A.1 B.2 C.1或2 D.-1 【答案】B；∵是纯虚数，∴且，即. 【变式3】如果复数是实数，则实数m=（ ） A．1 B．－1 C． D． 【答案】B； 【变式4】求当实数取何值时，复数分别是： （1）实数； （2）虚数； （3）纯虚数. 【答案】 （1）当即或时，复数为实数； （2）当即且时，复数为虚数； （3）当即时，复数为纯虚数. 类型二：复数的代数形式的四则运算 例2. 计算： （1）； (2) (3); (4) 解析： (1)∵，∴，， 同理可得： 当时， 当时，， 当时， 当时，， ∴ (2) (3) (4) 总结升华：熟练运用常见结论： 1）的“周期性”（） 2） 3） 举一反三： 【变式1】计算： （1）(5―6i)+(―2―i)―(3+4i) （2） （3） （4） ； 【答案】 （1）(5―6i)+(―2―i)―(3+4i) =[(5―2)+(―6―1)i]―(3+4i) =(3―7i)―(3+4i) =(3―3)+(―7―4)i=―11i. （2） （3） （4） 【变式2】复数( ) A.　　　　　 B.　　　　　 C.　　　　 D. 【答案】A； 【变式3】复数等于( ) A. i B. -i C. D. 【答案】A；，故选A 【变式4】复数等于( ) A.8 B.－8 C.8i D.－8i 【答案】D；. 类型三：复数相等的充要条件 例3、已知x是实数，y是纯虚数，且满足(2x―1)+(3―y)i=y―i，求x、y. 思路点拨：因x∈R，y是纯虚数，所以可设y=bi（b∈R且b≠0），代入原式，由复数相等的充要条件可得方程组，解之即得所求结果. 解析：∵y是纯虚数，可设y=bi（b∈R，且b≠0）， 则(2x―1)+(3―y)i＝(2x―1)+(3―bi )i＝（2x－1+b）+3i， y―i =bi－i=（b－1）i 由(2x―1)+(3―y)i=y―i得（2x―1+b）+3i=（b―1）i， 由复数相等的充要条件得， ∴，. 总结升华： 1. 复数定义：“形如（）的数叫复数”就意味凡是复数都能写成这一形式，求一个复数，使用一个复数都可通过这一形式将问题化虚为实，把复数问题转化为实数问题来研究.这是解决复数问题的常用方法. 2．复数相等是复数问题实数化的有效途径之一，由两复数a+bi与c+di（a，b，c，d∈R）相等的充要条件是a=c且b=d，可得到两个实数等式. 3.注意左式中的3―y并非是(2x―1)+(3―y)i的虚部，同样，在右边的y―i中y也并非是实部. 举一反三： 【变式1】设x、y为实数，且 【答案】由得 即5x(1+i)+2y(1+2i)=5(1+3i)， 即(5x+2y-5)+(5x+4y-15)i=0， 故 ∴ 【变式2】若z∈C且(3+z)i=1(i为虚数单位)，则z=____. 【答案】设z=a+bi(a,b∈R)，则(3+z)i=-b+(3+a)i=1 由复数相等的充要条件得 b=-1且a=-3，即z=-3-i. 【变式3】设复数满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】，故选C.