【世纪金榜】人教版2016第一轮复习理科数学教师用书配套热点专题突破系列(三)数列的综合应用要点.ppt

【加固训练】设函数f(x)的定义域为R,当x0时f(x)1,且对任意的 实数x,y∈R,有f(x+y)=f(x)f(y). (1)求f(0),判断并证明函数f(x)的单调性. (2)数列{an}满足a1=f(0),且f(an+1)= (n∈N*),数列{bn}满 足bn=an-8. ①求数列{an}的通项公式; ②求数列{bn}的前n项和Tn的最小值及相应的n的值. 【解析】(1)x,y∈R, f(x+y)=f(x)·f(y),x0时,f(x)1, 令x=-1,y=0,则f(-1)=f(-1)f(0), 因为f(-1)1,所以f(0)=1. 若x0,则f(x-x)=f(0)=f(x)f(-x), 故f(x)= ∈(0,1),故x∈R,f(x)0, 任取x1x2,f(x2)=f(x1+x2-x1)=f(x1)f(x2-x1), 因为x2-x10,所以0f(x2-x1)1, 所以f(x2)f(x1),故f(x)在R上是减函数. (2)①a1=f(0)=1,f(an+1)= =f(2+an), 由f(x)单调性an+1=an+2.故{an}是等差数列, 所以an=2n-1. ②bn=2n-9,Tn=n2-8n,当n=4时,(Tn)min=-16. 考点三 数列与不等式的综合问题 【考情分析】 数列与不等式的综合问题是高考考查的热点.考查方式主要有三种: (1)判断数列问题中的一些不等关系,如比较数列中的项的大小关系等. (2)以数列为载体,考查不等式的恒成立问题,求不等式中的参数的取值范围等. (3)考查与数列问题有关的不等式的证明问题. 【典例3】(2014·上海高考)已知数列{an}满足 an≤an+1≤3an, n∈N*,a1=1. (1)若a2=2,a3=x,a4=9,求x的取值范围. (2)设{an}是公比为q的等比数列,Sn=a1+a2+…+an, Sn≤Sn+1≤3Sn, n∈N*,求q的取值范围. (3)若a1,a2,…成等差数列,且a1+a2+…+ak=1000,求正整数k的最大值, 以及k取最大值时相应数列a1,a2,…的公差. 【解题提示】(1)根据 a2≤a3≤3a2, a3≤a4≤3a3可求得x的范围. (2)需对q分类讨论,若q=1,易得符合题意,若q≠1时,再通过放缩法解 不等式组即得结论. (3)k=1000,d=0是一组解时,kmax≥1000,根据 an≤an+1≤3an,可得 d≥ ,然后根据a1+a2+…+ak=1000,得到关于d的关系式,而d≥ ,从而得到关于k的不等式,解此不等式即得. 【规范解答】(1)依题意, a2≤a3≤3a2,所以 ≤x≤6; 又 a3≤a4≤3a3,所以3≤x≤27;综上可得:3≤x≤6. (2)由已知得，an=qn-1,又 a1≤a2≤3a1， 所以 ≤q≤3, 当q=1时，Sn=n, Sn≤Sn+1≤3Sn,即 ≤n+1≤3n,成立. 当1q≤3时，Sn= , Sn≤Sn+1≤3Sn, 因为q1,故3qn+1-qn-2=qn(3q-1)-22qn-20, 对于不等式qn+1-3qn+2≤0,令n=1, 得q2-3q+2≤0,解得1≤q≤2, 又当1q≤2时,q-30, 所以qn+1-3qn+2=qn(q-3)+2≤q(q-3)+2=(q-1)(q-2)≤0成立, 所以1q≤2, 当 ≤q1时,Sn= Sn≤Sn+1≤3Sn, 所以此不等式即 3q-1≥0,q-30, 所以3qn+1-qn-2=qn(3q-1)-22qn-20, qn+1-3qn+2=qn(q-3)+2≥q(q-3)+2=(q-1)(q-2)0, 所以 ≤q1时,不等式恒成立, 综上,q的取值范围为 ≤q≤2. (3)设公差为d,显然,当k=1000,d=0时,是一组符合题意的解, 故kmax≥1000,当k≥2时, 则由已知得 ≤1+(k-1)d≤3[1+(k-2)d], 当k≥1000时,不等式即 所以d的取值范围为d≥ a1+a2+…+ak=k+ =1 000, 所以k≥1 000时， 解得1 000≤k≤1 000+ 所以k≤1 999, 所以k的最大值为1 999， 此时公差 【规律方法】数列中不等式的处理方法 (1)函数方法:即构造函数,通过函数的单调性、极值等得出关于正实数的不等式,通过对关于正实数的不等式特殊赋值得出数列中的不等式. (2)放缩方法:数列中不等式可以通过对中间过程或者最后的结果放缩得到. (3)比较方法:作差或者作商比较. (4)数学归纳法:使用数学归纳法进行证明. 【变式训练】(2014·广东高考)设各