【世纪金榜】人教版2016第一轮复习理科数学教师用书配套热点专题突破系列(一)导数的综合应用要点.ppt

(2)f(x)的定义域为(0,+∞),g(x)=f(x)+m-ln4=4lnx-x2+m-ln4. 令g(x)=0,得4lnx-x2+m-ln4=0?m=x2-4lnx+ln4. 记φ(x)=x2-4lnx+ln4. 则φ′(x)= 当x∈ 时，φ′(x)＜0，φ(x)是减少的； 当x∈ 时，φ′(x)≥0，φ(x)是增加的. 由题意，2＜m≤4-2ln 2. 考点三 利用导数解决不等式问题 【考情分析】利用导数解决不等式问题是近几年高考热点,常涉及不等式恒成立、证明不等式及大小比较问题. (1)不等式恒成立问题一般考查三次式、分式、以e为底的指数式或对数式、三角式及绝对值结构的不等式在某个区间A上恒成立(存在性),求参数取值范围. (2)证明不等式一般是证明与函数有关的不等式在某个范围内成立. (3)大小比较问题,一般是作差后不易变形定号的三次式、分式、以e为底的指数式或对数式、三角式结构,可转化为用导数研究其单调性或最值的函数问题. 【典例3】(2014·福建高考)已知函数f(x)=ex-ax(a为常数)的图像与y轴交于点A,曲线y=f(x)在点A处的切线斜率为-1. (1)求a的值及函数f(x)的极值. (2)证明:当x0时,x2ex. (3)证明:对任意给定的正数c,总存在x0,使得当x∈(x0,+∞)时,恒有x2cex. 【解题提示】(1)利用导数求极值.(2)构造新函数,利用导数求最值.(3)对c分c≥1,0c1分类讨论或对x0取特殊值,然后求解. 【规范解答】方法一:(1)由f(x)=ex-ax,得f′(x)=ex-a. 又f′(0)=1-a=-1,得a=2. 所以f(x)=ex-2x,f′(x)=ex-2. 令f′(x)=0,得x=ln2. 当xln2时,f′(x)0,f(x)是减少的; 当xln2时,f′(x)0,f(x)是增加的. 所以当x=ln2时,f(x)取得极小值, 且极小值为f(ln2)=eln2-2ln2=2-ln4,f(x)无极大值. (2)令g(x)=ex-x2,则g′(x)=ex-2x. 由(1)得g′(x)=f(x)≥f(ln2)0, 故g(x)在R上单调递增,又g(0)=10, 因此,当x0时,g(x)g(0)0,即x2ex. (3)①若c≥1,则ex≤cex.又由(2)知,当x0时,x2ex. 所以当x0时,x2cex. 取x0=0,当x∈(x0,+∞)时,恒有x2cex. 热点专题突破系列(一) 导数的综合应用 考点一 利用导数解决实际生活中的优化问题 【考情分析】以实际生活为背景,通过求面(容)积最大、用料最省、利润最大、效率最高等问题考查学生分析问题、解决问题以及建模的能力,常与函数关系式的求法、函数的性质(单调性、最值)、不等式、导数、解析几何中曲线方程、空间几何体等知识交汇考查. 【典例1】(2013·重庆高考)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r米,高为h米,体积为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面的建造成本为100元/平方米,底面的建造成本为160元/平方米,该蓄水池的总建造成本为12000π元(π为圆周率). (1)将V表示成r的函数V(r),并求该函数的定义域. (2)讨论函数V(r)的单调性,并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大. 【解题提示】直接根据题意可列出函数的解析式并能直接写出定义域,通过求导研究函数的单调性进而求出函数的最值. 【规范解答】(1)因为蓄水池侧面的总成本为100×2πrh=200πrh元,底面的总成本为160πr2元,所以蓄水池的总成本为(200πrh+160πr2)元.根据题意得 200πrh+160πr2=12000π,所以h= (300-4r2),从而V(r)=πr2h = (300r-4r3). 因r0,又由h0可得r ,故函数V(r)的定义域为(0, ). (2)因V(r)= (300r-4r3).故V′(r)= (300-12r2).令V′(r)=0,解得 r1=5,r2=-5(因r2=-5不在定义域内,舍去). 当r∈(0,5)时,V′(r)0,故V(r)在(0,5)上为增函数;当r∈(5, ) 时,V′(r)0,故V(r)在(5, )上是减少的. 由此可知,V(r)在r=5处取得最大值,此时h=8,即当r=5,h=8时,该蓄水 池的体积最大. 【规律方法】利用导数解决生活中的优化问题的四个步骤 (1)分析实际问题中各个量之间的关系,列出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系式y=f(x). (2)求函数的导数f′(x),解方程f′(x)=0. (3)比较函数在区间端点和使f′(x)=0的点的函数值的大小,最大(小)