《费氏数及黄金分割》要点.doc

兔子、花瓣、希臘神殿：費氏數及黃金分割 十三世紀的大利數學家費伯納西(Fibonacci)寫了一本商用的算術和代數手冊《Liber abacci》。在這本書裏，他提出了這麼一個有趣的問題：假定一對兔子在它們出生整整兩個月以後可以生一對小兔子，其後每隔一個月又可以再生一對小兔子。假定現在在一個籠子裡有一對剛生下來的小兔子，請問一年以後籠子裏應該有幾對兔子？讓我們地算一下。月，小兔子還沒成熟不能生小兔子，所以總共有一對。月，對兔子生了一對小兔子，現在一共有對了。月，大兔子又生了一對小兔子，但是第二代的那對小兔子還沒成熟，還不能生小兔子，所以總共有三對。月，第一、二兩代的兩對兔子各生了一對小兔子，連同月原有的三對，現在一共有五對了。月，在月已經有的三對兔子各生一對小兔了，連同月有的五對兔子,現在一共有八對了。依此類推，每個月所有的兔子對數應該等於一個月所有的兔子對數（也就是原有的兔子對數）個月所有的兔子對數（這些兔子各生了一對小兔子）。所以每個月的兔子對數應該是3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、…，每一項都是前兩項之和。一年後籠子裡應該有233對兔子了。 我們觀察到 F1 = F２ = 1而當ｎ≧３時，　Fn = Fn - 1 + Fn – 2 F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9 F10 F11 F12 F13 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 費氏數的神奇性質 如果你把前五個費氏數加起來再加1，結果會等於第七個費氏數；如果把前六個費氏數加起來，再加1，就會得出第八個費氏數。那麼前n個費氏數加起來再加1，會不會等於第n+2個費氏數呢？ 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 1 = 13 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 1 = 21 我們可以利用數學歸納法證明 F1 + F2 + …… + Fn + 1 = Fn + 2 (1) n = 1 時， 左式 = F1 + 1 = 1 + 1 = 2 右式 = F1+2 = F3 = 2 故等式成立 (2) 對任意自然數 n，假設 n = k 時等式成立，即 F1 + F2 + …… + Fk + 1 = Fk + 2 則 F1 + F2 + …… + Fk + Fk+ 1 + 1 = ( F1 + F2 + …… + Fk + 1 ) + Fk+ 1 = Fk + 2 + Fk+ 1 = Fk+ 3 故 n=k+1時等式成立 由 (1) (2)與數學歸納法原理得證： F1 + F2 + …… + Fn + 1 = Fn + 2 如果我們分別對偶數項與奇數項做加法運算的話，情形又如何呢？ 1 + 2 + 5 = 8 1 + 2 + 5 + 13 = 21 1 + 1 + 3 + 8 = 13 1 + 1 + 3 + 8 + 21 = 34 我們可以得到下列的結果： (a) F1 + F3 + …… + F2n - 1 = F2n (b) 1 + F2 + F4 + …… + F2n = F2n + 1 證明(a) 利用數學歸納法： (1) 當 n = 1 時， 左式 = F1 = 1 右式 = F2 = 1 故等式成立 (2) 對任意自然數 n，若n = k 時等式成立，即 F1 + F3 + …… + F2k - 1 = F 2k 當 n = k + 1 時， 左式 = F1 + F3 + …… + F2k - 1 + F2k+ 1 = (F1 + F3 + …… + F2k - 1 ) + F2k+ 1 = F 2k + F2k+ 1 = F2k+ 2 右式 = F2( k+ 1) = F2k+ 2 故等式成立 由 (1) (2) 與數學歸納法原理得證： F1 + F3 + …… + F2n - 1 = F2n 證明(b) 與(a)的證法相同。 更不可思議的是，如果我們把第三項的平方加上第四項的平方會得到第七項。 試試看其他的情形。Fn2 + Fn + 12 = F2n + 1是不是都成立呢？ 32 + 52 = 9 + 25 = 34 82 + 132 = 64 + 169 = 233 費氏數與巴斯卡三角形 巴斯卡三角形中除了兩邊上的數字1之外，其餘的每個數都等於它頂上兩個數字的和： 乍看之下，似乎與費氏數沒什麼關係，但是只要把每條斜線上的數字加起來，費氏數就會現身了： 真的每一條