《函数的单调性与极值》1要点.ppt

* * * * * * * * * * * * * * * 1.图像法:函数y=x2－4x＋3的图象 2 y x 0 递增区间：（２，+∞）. 递减区间：(－∞，２). 如何确定函数y=x2－4x＋3的单调性？？ (2)作差f(x1)－f(x2)，并变形. 2.由定义证明函数的单调性的一般步骤： (1)设x1、x2是给定区间的任意两个 　值，且x1 x2. (3)判断差的符号(与０比较)，从而得函数的单调性. 2.定义法 例1：讨论函数y=x2－4x＋3的单调性. 解：取x1x2∈R， f(x1)－f(x2)=（x12－4x1＋3）－（x22－4x2＋3） =（x1+x2)(x1－x2）-4(x1－x2） = (x1－x2)(x1+x2－4） 则当x1x22时， x1+x2－40， f(x1)f(x2)， 那么 y=f(x)单调递减。 当2x1x2时， x1+x2－40， f(x1)f(x2)， 那么 y=f(x)单调递增。 综上 y=f(x)单调递增区间为（2，+∞） y=f(x)单调递减区间为（－∞，2）。 那么如何判断下列函数的单调性呢? 问题：用单调性定义讨论函数 单调性虽然可行，但比较麻烦. 如果函数图象也不方便作出来时.. 是否有更为简捷的方法呢？ 先通过函数的y=x2－4x＋3图象来考 察单调性与导数有什么关系： 2 y x 0 . . . . . . . 观察函数y=x2－4x＋3的图象上的点的切线： 总结:该函数在区间 （－∞，2）上递减, 切线斜率小于0,即其 导数为负,在区间（2，+∞）上递增,切线斜率大于0,即其 导数为正.而当x=2时其切线斜率为0,即导数为0.函数在该点单调性发生改变. 如果在某区间上f’(x)0,则f(x)为该区间上增函数; 如果在某区间上f’(x)0,则f(x)为该区间上减函数. 上面是否可得下面一般性的结论: 一般地,设函数y=f(x)在某个区间内可导,则函数在 该区间有下面的结论: 如果f(x)在这个区间(a,b)上是增函数, 那么任意x1，x2∈(a,b), 当x1x2 时f(x1)f(x2),即x1-x2与f(x1)－f(x2)同号,从而 , 即 如果在某区间上f’(x)0,则f(x)为该区间上的增函数; 如果在某区间上f’(x)0,则f(x)为该区间上的减函数. 例1：讨论函数y=x2－4x＋3的单调性. 方法3:导数法 解:函数的定义域为R, f’(x)=2x-4 令f ’(x)0,解得x2， 则f(x)的单增区间为（2，＋∞）. 再令f ’(x)0,解得x2, 则f(x)的单减区间(－∞,2). 练习:讨论下列函数的单调性 (1)y=x-x2 (2)y=x3-x2 总结：根据导数确定函数的单调性 1.确定函数f(x)的定义域. 2.求出函数的导数. 3.解不等式f’(x)0,得函数单增区间; 解不等式f’(x)0,得函数单减区间. 问题2：如果f(x)在某个区间上单调递增,那么在该区间上必有f ’(x)0吗? B 例3：求函数f(x)=2x3-6x2+7的单调区间. 解:函数的定义域为R,f’(x)=6x2-12x 令6x2-12x0,解得x0或x2， 则f(x)的单增区间为（－∞，0）和 （2，＋∞）. 再令6x2-12x0,解得0x2, 则f(x)的单减区间(0,2). 注:当x=0或2时, f′(x)=0,即函数在该点单 调性发生改变. 例4 求函数f(x)=xlnx的单调区间. 解：函数的定义域为x0, f’(x)=x’lnx+x(lnx)’=lnx+1. 当lnx+10时，解得x1/e.则f(x)的 单增区间是(1/e,+∞). 当lnx+10时，解得0x1/e.则f(x) 的单减区间是（0，1/e). 例5 判定函数y=ex-x+1的单调区间. 解: f’(x) =ex-1 当ex-10时,解得 x0. 则函数的单增区间为(0,+∞). 当ex-10时,解得x0. 即函数的单减区间为(-∞,0). 知识应用 1．应用导数求函数的单调区间 (1)．函数y=x－3在[－3，5]上为______函数(填“增”或“减”)。 基础训练： 增 (2)．函数 y = x2－3x 在[2,+∞)上为______函数，在(-∞,1]上为___函数，在[1,2]上为　 　　　函数 (填“增”或“减”或“既不是增函数，也不是减函数”)。 增 减 既不是增函数 又不是减函数 变1：求函数 　的单调