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离 散 数 学 (I) 主讲教师：李占山 计算机楼A338 E-mail:zslizsli@163.com 课程安排 本学期讲课学时：64 课程性质：必修 《离散数学》孙吉贵等 -----高等教育出版社 参考教材: 1《离散数学-学习指导与习题解答》孙吉贵等 -----高等教育出版社 2《集合论与图论》耿素云编著北京大学出版社 3《离散数学-精讲精解精练》黄健斌编著西安电子科技大学出版社 离散数学(I) 第一章 集合论基础 第二章 命题逻辑 第三章 一阶逻辑 第四章 图与网络 第五章 数论基础 第一章 集合论基础 §1.1 集合的基本概念 §1.2 关 系 §1.3 映 射 康托尔(Cantor) 康托尔简介 康托尔(Georg Cantor)1845年出生于俄罗斯的圣彼德堡，康托尔十多岁时就对数学产生了浓厚的兴趣。1862年他在苏黎世开始了他的大学学习，1863年又在柏林大学继续学习，并得到著名数学家外尔斯特拉斯、库默尔和克罗内克的指导。特别是受了外尔斯特拉斯的影响而专攻纯粹数学，1866年完成了一篇数论方面的博士论文后获得博士学位。1869年康托尔得到了哈雷大学的一个职位，1879年任哈雷大学教授。1891年，康托尔组建德国数学家联合会，任第一任主席。1904年，伦敦皇家学会授予他最高荣誉：西尔威斯特（slvester)奖章。 康托尔这个人是数学界的奇才，他为数学的新奇思路和独特创造以及丰富的想象力，成为当时数学界有争议的人物。但最终成为后世数学家学习与敬仰的模范。康托尔的老师克罗内克是个“有穷论者”，他反对康托尔的“超穷数”的集合论观点，他不仅对康托尔的学术工作粗暴攻击，还竭力阻止康托尔去柏林大学工作，由于克罗内克的权威地位，使得其他数学家也跟着攻击康托尔的工作，使康托尔试图在柏林大学得到一个更高待遇的计划受挫。1918年死于精神病诊所。 罗素简介 罗素（Bertrand Russell,1872-1970)生于一个以积极参与进步运动，热烈地投身于自由事业而著名的英格兰家庭。年幼就成为孤儿的罗素由祖父抚养，并在家里接受教育。1890年他进入剑桥的Trinity学院学习数学和论理学，并由于在几何学方面的工作突出为他赢得了一个研究员位置。1910年Trinity学院任命他教授逻辑和数学原理的课程。罗素最伟大的工作是他提出的可以作为所有数学学科基础的原理。他最著名的文章是与人合作的《Principia Mathematica》，这篇文章试图用一组基本公理推导出所有的数学。此外，他还写了包括哲学、物理和他的政治观点的很多书籍，1950年罗素赢得诺贝尔文学奖。 大厦基兮矗云天，?? 数学砥柱兮两撑竿。?? 集合论兮康托儿峰颠巅，?? 逻辑理兮舌战群儒无辩。 §1.1 集合的基本概念 什么是集合(Set)？ “所要讨论的一类对象的整体”； “具有同一性质单元的集体” 通常，用大写的英文字母A, B, C,……表示集合； 例如: 1、二十六个英文字母可以看成是一个集合； 2、所有的自然数看成是一个集合； 3、吉林大学计算机学院2007级的本科学生可以看成是一个集合； 4、这间教室中的所有座位可以看成是一个集合。 集合的元素(member或element) 组成一个集合的那些对象或单元称为这个集合的元素。 通常，用小写的英文字母a, b, c,…表示集合中的元素 属于(belong to) 设A是一个集合，a是集合A中的元素，记以a?A，读作a属于A；若a不是集合A中的元素，则记以a?A，读作a不属于A。 例如：A是正偶数集合，则2?A，8?A，36?A；而 3?A，9?A，17?A 有限集 、无限集 包含有限个元素的集合，称为有限集或有穷集(finite set)； 包含无限个元素的集合，称为无限集或无穷集(infinite set )。 例：所有英文字母组成的集合是有限集，整数集合是无限集。 空集、全集 约定，存在一个没有任何元素的集合，称为空集(empty set) ，记为?，有时也用{}来表示。 约定，所讨论的对象的全体称为全集(universal set)，记作E或U，我们所讨论的集合都是全集的子集 。全集是相对的。 集合的元素数 设A是有穷集合， A中元素的个数称为集合A的元素数，记为?A?。 例如，设A是所有英文字母组成的集合，则?A?=26。特别， | ? |=0 集合的表示法 列举法；将集合中的元素一一列举，或列出足够多的元素以反映集合中元素的特征，例如：V={a,e,i,o,u} 或B={1,4,9,16,25,36……}。 描述法 ；通过描述集合中元素的共同特征来表示集合，例如： V= {x|x是元音字母} ，B