圆锥曲线切线的新探索(徐文平论文集)教案分析.doc

目录 1、椭圆切线尺规作图法及其简证 1 2、椭圆内接四边形的四极点共线调和分割定理 12 3、椭圆焦点弦的优美性质及其简证 22 4、圆锥曲线切线的尺规作图法及其简证 27 5、圆锥曲线内接四边形的四极点调和分割定理 34 6、花中觅 41 7、三割线定理的简证与推广 43 8、圆锥曲线切线的性质和简明作图 48 9、正七边形的一些有趣奇妙性质 52 10、同心椭圆内接外切多边形的一些性质 55 致谢 62 椭圆切线尺规作图法及其简证 徐文平 （东南大学 南京210096） 摘要：采用坐标线性变换方法，椭圆问题化圆处理，并运用极点与极线的知识，进行了椭圆切线尺规作图法的简单证明。 关键词：椭圆切线、尺规作图、坐标线性变换、极点与极线、调和分割 一、过椭圆上一点作切线 方法1：已知椭圆Y和椭圆上一点A，以椭圆Y的长轴a为半径作圆G，过椭圆上已知点A做竖向垂线，与圆G相交于B点。过B点作圆G的切线T1，相交水平x轴于N点，连接N点与椭圆上A点，直线NA就是所求的椭圆切线T2。 证明：依据坐标线性变换原理，令 , ，椭圆Y转换为圆G，椭圆上A点转换到圆上切点B。切线T1与圆G相切于B点，只有唯一解，坐标线性变换后，直线NA与椭圆Y也只有唯一解，即直线T2与椭圆Y相切于A点。 图 1 方法2：过椭圆Y上一点A，作竖向垂线，与椭圆Y相交于B点，点J、K是椭圆Y的象限点，JA、BK两条延伸线相交于C点，过C点作竖向垂线，与水平轴交于N点，NA连线就是所求的椭圆切线T1。 图 2 证明：圆是椭圆的一种特殊情况 图 3 采用坐标线性变换方法，圆G转换为椭圆Y，圆切线转换为椭圆切线，分析得知，对于过椭圆上一点的作切线问题，方法2也成立。 图 4 方法3：椭圆的斜向割线AB，作JA、 BK延伸线相交于C点。直线AB1与A1B相交于D点，过D点的水平线与过C点的竖向垂线相交于N点。NA就是椭圆的切线。 图 5 证明：首先证明过圆上一点作切线的方法3成立，然后证明对于椭圆方法3也成立。 图 6 如图7，过椭圆外一点P作两条切线，S、T为切点，依据极点与极线知识，点P为极点，切线弦ST为极线。采用赛瓦定理可以证明，S、D、T三点共线。(极点极线可简证) 图 7 如图8，圆⊙O的割线AB与水平x轴交于Q点，割线AB与竖向y轴交于P点，从点P作两条切线，S、T为两个切点，切点弦ST为点P关于圆⊙O的极线，J、K是圆⊙O的象限点，直线JA与BK交于E点，直线JB与AK交于F点，ST与直线EF相交于N点。则ST⊥EF，且交点N点平分竖向直线EF。现证明如下： 图 8 在ΔJEF中，由于JK为圆⊙O的直径，且A、B、J、K四点共圆，∴AK⊥JE，BK⊥JF，∴K点是ΔEFF垂心，那么 JK⊥EF，∴EF为竖向直线，∴水平直线ST⊥EF。 设⊙O圆的方程为，直线AB的方程为（）， 容易得出，点坐标，，。 设与圆交于点，， 则他们满足方程组 （1） 依据极点与极线知识，ΔEFQ是典型的自配极三角形，直线EQ为点F对应的极线，直线FQ为点E对应的极线。 对于ΔEOF分析可知，极点E与圆心O的连线EO必定与极点E的对应极线FQ垂直，即EO⊥FQ,，同理，FO⊥EQ ，∴Q点是ΔEOF的垂心。 圆⊙O方程为：，则圆外任意一点对应的极线方程为： （2） 设极点 ，，∵EF是竖向垂线，∴， 则：极点 对应的极线FQ方程 (3) 则：极点 对应的极线EQ方程 (4) ∵极线EQ与极线FQ交于点Q，且坐标已知， 由（3）或（4）式，可得： (5) ∴可以解得N点坐标： 通过坐标点，作直线JA和AK直线， 直线JAE方程为: (6) 直线AKF方程为: (7) 将(5)式代入（6）、（7）式得： （8） 其中： ， 则 （恒定值） （9） ∵坐标点，则竖向垂线EF中点N坐标为， ∵水平直线STN与垂直线EF的交点为，∴与坐标重合， ∴水平直线ST⊥EF，且交点N点平分竖向直线EF。 事实上，想要证明过圆上