大学物理答案【参考】.doc

大学物理 微积分在力学解题中的运用 微积分是大学物理学习中应用很多的一种数学运算,在力学中较为突出,也是初学大学物理课程时遇到的一个困难．要用好微积分这个数学工具,首先应在思想上认识到物体在运动过程中,反映其运动特征的物理量是随时空的变化而变化的．一般来说,它们是时空坐标的函数．运用微积分可求得质点的运动方程和运动状态．这是大学物理和中学物理最显著的区别．例如通过对质点速度函数中的时间t 求一阶导数就可得到质点加速度函数．另外对物理量数学表达式进行合理变形就可得出新的物理含义．如由,借助积分求和运算可求得在t1 -t2 时间内质点速度的变化；同样由也可求得质点的运动方程．以质点运动学为例,我们可用微积分把运动学问题归纳如下： 第一类问题：已知运动方程求速度和加速度； 第二类问题：已知质点加速度以及在起始状态时的位矢和速度,可求得质点的运动方程． 在力学中还有很多这样的关系,读者不妨自己归纳整理一下,从而学会自觉运用微积分来处理物理问题,运用时有以下几个问题需要引起大家的关注： (1) 运用微积分的物理条件．在力学学习中我们会发现,和等描述质点运动规律的公式,只是式和式在加速度为恒矢量条件下积分后的结果． 此外,在高中物理中只讨论了一些质点在恒力作用下的力学规律和相关物理问题,而在大学物理中则主要研究在变力和变力矩作用下的力学问题,微积分将成为求解上述问题的主要数学工具． () 积分运算中的分离变量和变量代换问题．以质点在变力作用下作直线运动为例,如已知变力表达式和初始状态求质点的速率,求解本问题一条路径是：由F ＝m a 求得a的表达式,再由式dv ＝ adt 通过积分运算求得v,其中如果力为时间t 的显函数,则a ＝a(t),此时可两边直接积分,即；但如果力是速率v 的显函数,则a ＝ a(v),此时应先作分离变量后再两边积分,即；又如力是位置x 的显函数,则a＝a(x),此时可利用得,并取代原式中的dt,再分离变量后两边积分,即, 用变量代换的方法可求得v(x)表达式,在以上积分中建议采用定积分,下限为与积分元对应的初始条件,上限则为待求量． 第一章　质点运动学 1 -6　已知质点沿x 轴作直线运动,其运动方程为,式中x 的单位为m,t 的单位为 s．求： (1) 质点在运动开始后4.0 s内的位移的大小； (2) 质点在该时间内所通过的路程； (3) t＝4 s时质点的速度和加速度． 分析　位移和路程是两个完全不同的概念．只有当质点作直线运动且运动方向不改变时,位移的大小才会与路程相等．质点在t 时间内的位移Δx 的大小可直接由运动方程得到：,而在求路程时,就必须注意到质点在运动过程中可能改变运动方向,此时,位移的大小和路程就不同了．为此,需根据来确定其运动方向改变的时刻tp ,求出0～tp 和tp～t 内的位移大小Δx1 、Δx2 ,则t 时间内的路程,如图所示,至于t ＝4.0 s 时质点速度和加速度可用和两式计算． 解　(1) 质点在4.0 s内位移的大小 (2) 由 得知质点的换向时刻为 (t＝0不合题意) 则 所以,质点在4.0 s时间间隔内的路程为 (3) t＝4.0 s时 　　1 -9　质点的运动方程为 式中x,y 的单位为m,t 的单位为ｓ． 试求：(1) 初速度的大小和方向；(2) 加速度的大小和方向． 分析　由运动方程的分量式可分别求出速度、加速度的分量,再由运动合成算出速度和加速度的大小和方向． 解　(1) 速度的分量式为 当t ＝0 时, vox ＝-10 m·ｓ-1 , voy ＝15 m·ｓ-1 ,则初速度大小为 设vo与x 轴的夹角为α,则 α＝123°41′ (2) 加速度的分量式为 , 则加速度的大小为 设a 与x 轴的夹角为β,则 β＝-33°41′(或326°19′) 1 -13　质点沿直线运动,加速度a＝4 -t2 ,式中a的单位为m·ｓ-2 ,t的单位为ｓ．如果当t ＝3ｓ时,x＝9 m,v ＝2 m·ｓ-1 ,求质点的运动方程． 分析　本题属于运动学第二类问题,即已知加速度求速度和运动方程,必须在给定条件下用积分方法解决．由和可得和．如a＝a(t)或v ＝v(t),则可两边直接积分．如果a 或v不是时间t 的显函数,则应经过诸如分离变量或变量代换等数学操作后再做积分． 解　由分析知,应有 得 (1) 由 得 (2) 将t＝3ｓ时,x＝9 m,v＝2 m·ｓ