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第一章质点运动与牛顿定律 1-9 一人自坐标原点出发，经20(s)向东走了25(m)，又用15(s)向北走了20(m),再经过10(s)向西南方向走了15(m)，求(1)全过程的位移和路程；(2)整个过程的平均速度和平均速率。 解：（1）以人为研究对象，建立如图所示的直角坐标系， 全过程的位移为： 其大小为： 全过程位移的方向为： 即方向向东偏北 （2）平均速度 其大小为： 平均速度的方向沿东偏北 平均速率 1-10 一质点P沿半径的圆周作匀速率运动，运动一周所需时间为，设t＝0时，质点位于O点。按如图所示的坐标系，求：(1)质点P在任意时刻的位矢；(2)5s时的速度和加速度。 解：如图所示，在坐标系中，因，则质点P的 参数方程为： 坐标变换后，在坐标系中有： ， 则质点P的位矢方程为： 5s时的速度和加速度分别为 ： 1-11 已知一质点的运动方程为(单位为SI制)，求：(1)第2秒内的平均速度；(2)第3秒末的速度；(3)第一秒末的加速度；(4)物体运动的类型。 解：由 知质点在任意时刻的速度与加速度分别为： ； （1）第2秒内的平均速度 (2)第3秒末的速度 ，与运动方向相反。 (3)第一秒末的加速度 （4）令，得 时x达到极值,从此时开始质点将改变运动方向。 令，得 ，这是个拐点，在此时刻之前，质点作加速运动，在此时刻之后，质点作减速运动。 1-12质点的运动方程为，求当t=2(s)时，质点的速度和加速度a。 解：质点在任意时刻的速度为： 则 ， 当t=2(s)时，质点的速度大小为： 方向：以表示速度与x轴间的夹角，则 质点在任意时刻的加速度为： 则 ， 当t=2(s)时，质点的加速度大小为： 方向：以表示加速度与x轴间的夹角，则 1-13已知质点的运动方程为 式中R，为常量，试问质点作什么运动？其速度和加速度为多少？ 解：由已知坐标分量式 可知为： 将上面两式相加 ，此即质点作匀速率圆周运动， 其速度分量式 ， 大小 方向：以表示速度与x轴间的夹角，则 其加速度分量式 ， 大小 方向：以表示加速度与x轴间的夹角，则 1-14物体沿直线运动，其速度为(单位为SI制)。如果t=2(s)时，x=4(m)，求此时物体的加速度以及t=3(s)时物体的位置。 解：由可知物体在任意时刻的加速度和位移分别为： ； 上式变形后再两边积分为： 当t=2(s)时，物体的加速度为： 当t=3(s)时物体的位置为： 1-15已知一质点由静止出发，其加速度在轴和轴上分别为，（a的单位为SI制），试求t=5(s)时，质点的速度和位置。 解：由，可知质点在任意时刻的速度分量式和位移分量式分别为： ，变形后再两边积分为： ，变形后再两边积分为： 当t=5(s)时质点的速度为： 速度的大小： 方向：以表示速度与x轴间的夹角，则 ，变形后再两边积分为： ，变形后再两边积分为： 当t=5(s)时，质点的位置为： 位置的大小： 方向：以表示位置与x轴间的夹角，则 1-16路灯距地面的高度为，一身高为的人在路灯下以匀速行走，试求人影顶端移动的速度。 解：由于 故可得： 两边微分： 变形上式可得： 所以人影顶端移动的速度为：由 可得： 1-17 一质点作半径为r=10(m)的圆周运动,其角坐标可用（单位为SI制）表示，试问：（1）t=2(s)时，法向加速度和切向加速度各是多少？（2）当角等于多少时，其总加速度与半径成？ 解（1）由于，则角速度，在时，法向加速度和切向加速度的数值分别为： 当总加速度与半径成时，此时应有： 即： 于是 1-18 一质点在水平面内以顺时针方向沿半径为的圆形轨道运动。此质点的角速度与运动时间的平方成正比，即(SI制),式中k为常数。已知质点在第2(s)末的线速度为32，试求t=0.5(s)时质点的线速度与加速度。 解 由且可知： 所以 则t=0.5(s)时质点的线速度、角加速度、切向加速度和总加速度分别为： 1-19 一只在星际空间飞行的火箭，当它的燃料以恒定速率燃烧时，其运动函数可表示为，其中u是喷出气流相对火箭体的速度，是一个常量，b是与燃烧速率成正比的一个常量。(1)求此火箭的速度；(2)求此火箭的加速度表示式；(3)设，120s内燃烧完，求t=0s和t=120s时的速度；(4)求在t=0s和t=120s时的加速度。 解（1）由可知此火箭的速度为： (2)此火箭的加速度为： (3) 火箭在t=0s和t=120s时的速度分别为： (4)