抽象函数问题的“原型”解法..doc

抽象函数问题的“原型”解法 王宝清 湖北省房县一中 442100 摘要：抽象函数问题是学生学习中的一个难点，也是各种考试测评的热点问题之一。研究发现，由抽象函数结构、性质，联想已学过的基本函数，再由基本函数的相关结论，预测、猜想抽象函数可能有的相关结论，是使抽象函数问题获解的一种有效方法。 关键词：抽象函数、基本函数、原型、猜测。 所谓抽象函数，是指没有明确给出函数表达式，只给出它具有的某些特征或性质，并用一种符号表示的函数。由抽象函数构成的数学问题叫抽象函数问题，这类问题是学生学习中的一个难点，也是各种考试测评的热点问题之一。研究抽象函数问题的解法，对教师的教学，学生深刻理解并牢固掌握函数的相关内容，学好大纲规定的基本函数知识显得尤为重要。 抽象来源于具体。抽象函数是由特殊的、具体的函数抽象而得到的。如f(x)=kx(k≠0)。有f(x1)=kx1 ，f(x2)=kx2，f(x1+x2)=k(x1+x2)=kx1+kx2=f(x1)+f(x2)可抽象为f(x+y)=f(x)+f(y)。那么y=kx就叫做抽象函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)的“原型”（函数），分析抽象函数问题的解题过程及心理变化规律可知，一般均是由抽象函数的结构，联想到已学过的具有相同或相似结构的某类（基本）“原型”函数，并由“原型”函数的相关结论，预测、猜想抽象函数可能具有的某种性质使问题获解的，称这种解抽象函数问题的方法为“原型”解法。下面给出中学阶段常用的“原型”（函数）并举例说明“原型”解法。 一、中学阶段常用抽象函数f(x)的“原型”（函数） 1、f(x+y)=f(x)+f(y)——y=kx（k为常数） 2、f(x+y)=f(x)·f(y)——y=ax（a＞0且a≠1） 3、f(xy)=f(x)+f(y)——y= (a＞0且a≠1) 4、f(xy)=f(x) f(y)——y=xn（n为常数） 5、f(x)+f(y)=2f()f()——y=coswx（w为常数） [f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)] 6、f(x+y)= ——y=tgx 二、“原型”解法例析 例1.设函数f(x)满足f(x1)+f(y2)=2f()f()，且f()=0，x、y∈R；求证：f(x)为周期函数，并指出它的一个周期。 分析与简证：由f(x1)+f(x2)= 2f()f() 想：cosx1+cosx2=2coscos 原型：y=cosx，为周期函数且2π为它的一个周期。 猜测：f(x)为周期函数，2π为它的一个周期 令x1=x+π,x2=x 则f(x+π)+f(x)=2f(x+)f()=0 ∴f(x+π)=-f(x) ∴f(x+2π)=f(x) ∴f(x)为周期函数且2π是它的一个周期。 例2.已知函数f(x)满足f(x+1)=，若f(2)=2002，试求f(2003)。 分析与略解：由f(x+1)= 想：tg (x+)= 原型：y=tgx 为周期函数且周期为4×=π。 猜测：f(x)为周期函数且周期为4×1=4 ∵f(x+2)=f[(x+1)+1]===- ∴f(x+4)=f[(x+2)+2]=- =f(x) 即f(x+4)=f(x) ∴f(x)是以4为周期的周期函数 又∵f(2)=2002 ∴f(2003)=f(2002+1)====- ∴f(2003)=- ? 例3.已知函数f(x)对于任意实数x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y)，且当x＞0时，f(x) ＞0，f(-1)=-2，求函数f(x)在区间[-2，1]上的值域。 分析与略解：由：f(x+y)=f(x)+f(y) 想：k(x+y)=kx+ky 原型：y=kx （k为常数）为奇函数。k＜0时为减函数，k＞0时为增函数。 猜测：f(x)为奇函数且f(x)为R上的单调增函数，且f(x)在[－2,1]上有f(x)∈[－4,2] 设x1＜x2且x1，x2∈R 则x2-x1＞0 ∴f(x2－x1)＞0 ∴f(x2)-f(x1)=f(x2-x1+x1)-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-f(x1)=f(x2-x1)＞0 ∴f(x2)＞f(x1),∴f(x)为R上的单调增函数。 令x=y=0,则f(0)=0,令y=-x，则f(-x)=-f(x) ∴f(x)为R上的奇函数。 ∴f(-1)=-f(1)=-2 ∴f(1)=2，f(-2)=2f(-1)=-4 ∴-4≤f(x)≤2(x∈[-2,1]) 故f(x)在[-2,1]上的值域为[-4，2] 例4.已知函数f(x)对于一切实数x、y满足f(0)≠0，f(x+y)=f(x)f(y)，且当x＜0时，f(x)＞1 （1）当x＞0时，求f(x)的取值范围 （2）判断f(x)在R上的单调性 分析与略解：由：f