拉格朗日对偶..doc

2 拉格朗日对偶（Lagrange duality） ???? 先抛开上面的二次规划问题，先来看看存在等式约束的极值问题求法，比如下面的最优化问题： ???????? ??? 目标函数是f(w)，下面是等式约束。通常解法是引入拉格朗日算子，这里使用来表示算子，得到拉格朗日公式为 ???????? ??? L是等式约束的个数。 ??? 然后分别对w和求偏导，使得偏导数等于0，然后解出w和。至于为什么引入拉格朗日算子可以求出极值，原因是f(w)的dw变化方向受其他不等式的约束，dw的变化方向与f(w)的梯度垂直时才能获得极值，而且在极值处，f(w)的梯度与其他等式梯度的线性组合平行，因此他们之间存在线性关系。（参考《最优化与KKT条件》） 然后我们探讨有不等式约束的极值问题求法，问题如下： ???????? ??? 我们定义一般化的拉格朗日公式 ??? 这里的和都是拉格朗日算子。如果按这个公式求解，会出现问题，因为我们求解的是最小值，而这里的已经不是0了，我们可以将调整成很大的正值，来使最后的函数结果是负无穷。因此我们需要排除这种情况，我们定义下面的函数： ???? ??? 这里的P代表primal。假设或者，那么我们总是可以调整和来使得有最大值为正无穷。而只有g和h满足约束时，为f(w)。这个函数的精妙之处在于，而且求极大值。 ??? 因此我们可以写作 ???? ??? 这样我们原来要求的min f(w)可以转换成求了。 ??? ???? ??? 我们使用来表示。如果直接求解，首先面对的是两个参数，而也是不等式约束，然后再在w上求最小值。这个过程不容易做，那么怎么办呢？ ??? 我们先考虑另外一个问题 ??? D的意思是对偶，将问题转化为先求拉格朗日关于w的最小值，将和看作是固定值。之后在求最大值的话： ??? 这个问题是原问题的对偶问题，相对于原问题只是更换了min和max的顺序，而一般更换顺序的结果是Max Min(X) = MinMax(X)。然而在这里两者相等。用来表示对偶问题如下： ???? ??? 下面解释在什么条件下两者会等价。假设f和g都是凸函数，h是仿射的（affine，）。并且存在w使得对于所有的i，。在这种假设下，一定存在使得是原问题的解，是对偶问题的解。还有另外，满足库恩-塔克条件（Karush-Kuhn-Tucker, KKT condition），该条件如下： ???? ??? 所以如果满足了库恩-塔克条件，那么他们就是原问题和对偶问题的解。让我们再次审视公式（5），这个条件称作是KKT dual complementarity条件。这个条件隐含了如果，那么。也就是说，时，w处于可行域的边界上，这时才是起作用的约束。而其他位于可行域内部（的）点都是不起作用的约束，其。这个KKT双重补足条件会用来解释支持向量和SMO的收敛测试。 ??? 这部分内容思路比较凌乱，还需要先研究下《非线性规划》中的约束极值问题，再回头看看。KKT的总体思想是将极值会在可行域边界上取得，也就是不等式为0或等式约束里取得，而最优下降方向一般是这些等式的线性组合，其中每个元素要么是不等式为0的约束，要么是等式约束。对于在可行域边界内的点，对最优解不起作用，因此前面的系数为0。 最优间隔分类器（optimal margin classifier） ??? 重新回到SVM的优化问题： ???? ??? 我们将约束条件改写为： ???? ??? 从KKT条件得知只有函数间隔是1（离超平面最近的点）的线性约束式前面的系数，也就是说这些约束式，对于其他的不在线上的点()，极值不会在他们所在的范围内取得，因此前面的系数.注意每一个约束式实际就是一个训练样本。 ??? 看下面的图： ??? 实线是最大间隔超平面，假设×号的是正例，圆圈的是负例。在虚线上的点就是函数间隔是1的点，那么他们前面的系数，其他点都是。这三个点称作支持向量。构造拉格朗日函数如下： ??? ???? ??? 注意到这里只有没有是因为原问题中没有等式约束，只有不等式约束。 ??? 下面我们按照对偶问题的求解步骤来一步步进行， ???? ??? 首先求解的最小值，对于固定的，的最小值只与w和b有关。对w和b分别求偏导数。 ???? ???? ??? 并得到 ???? ??? 将上式带回到拉格朗日函数中得到，此时得到的是该函数的最小值（目标函数是凸函数） ??? 代入后，化简过程如下： ????? 　　最后得到 ???? 由于最后一项是0，因此简化为 ???? ??? 这里我们将向量内积表示为 ??? 此时的拉格朗日函数只包含了变量。然而我们求出了才能得到w和b。 ??? 接着是极大化的过程， ??? 前面提到过对偶问题和原问题满足的几个条件，首先由于目标