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1.(2011·新课标全国卷)如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD. (1)证明:PA⊥BD; (2)若PD=AD,求二面角A-PB-C的余弦值. Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 【解析】(1)因为∠DAB=60°,AB=2AD, 由余弦定理得 BD= AD, 从而BD2+AD2=AB2,故BD⊥AD, 又PD⊥底面ABCD,可得BD⊥PD,又因为PD∩AD=D, 所以BD⊥平面PAD,故 PA⊥BD. Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. (2)如图,以D为坐标原点,AD的长为单位长,射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz, 则A(1,0,0),B(0, ,0),C(-1, ,0),P(0,0,1). =(-1, ,0), =(0, ,-1), =(-1,0,0), 设平面PAB的一个法向量为n=(x,y,z), Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 由 ,得 令y=1,得 同理可得平面PBC的一个法向量为 所以 由图形知,二面角A-PB-C为钝角, 故二面角A-PB-C的余弦值为 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 2.(2012·杭州模拟)如图,在四棱锥P—ABCD中,侧面△PAD是正三角形,且垂直于底面ABCD,底面四边形ABCD是边长为2的菱形,∠BAD=60°,M为PC的中点. (1)求证:PA∥平面BDM; (2)求直线AC与平面ADM所成角的正弦值. Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 【解析】(1)∵四边形ABCD是菱形,记AC与BD的交点为N,连接MN,则N是AC的中点, 又∵M是PC的中点,∴AP∥MN, 又∵MN在平面BDM上,AP不在平面BDM上, ∴AP∥平面BDM. (2)如图,∵正三角形PAD⊥平 面ABCD, ∴取AD中点O,连接PO,则PO⊥平 面ABCD. Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 连接BO,则易得BO⊥AD, 建立空间直角坐标系Oxyz. 则A(1,0,0),D(-1,0,0),P(0,0, ), ∴M( ). Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. =(-3, ,0), =(-2,0,0), 设平面ADM的法向量为n=(x,y,1), 则由n· =0,得x=0;由n· =0,得y=-1, 即n=(0,-1,1). 设直线AC与平面ADM所成角为θ, 则有 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 3.(2012·温州模拟)如图,P是平面ABCD外一点,四边形ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AB=2,BC=4,E是PD的中点. (1)求证:CD⊥平面PAD; (2)求二面角E—AC—D所成平面角的余弦值. Evaluation o
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