关于“有效学”的初步研究.ppt

案例3：《问题解决中的思维过程展示》教学案例及分析 背景： 问题的解决过程，说到底是一种思维活动过程；和其他的过程一样，思维活动过程也具备着一定的特征，遵循着一定的规律。如能将问题解决中思维活动的过程较为清晰的展示出来，对于深入研究问题解决中思维活动的特征与规律，对于提高问题解决中思维活动的能力等，无疑都是大有裨益的。 笔者于1998年在高三教改实验班[1]开设了“物理思维方法”的课程[2]，为了把同学们解决问题时的思维活动过程清晰地展示出来以便于对其特征与规律展开更进一步的探讨，特意设计了一节课：《问题解决中的思维过程展示》。 案例 提出问题 师：问题的解决过程，说到底是复杂的思维活动过程。为了把我们在问题解决过程中的思维活动展示出来，以便我们较为理性地对这样的思维活动进行研究，我们就来共同解决一个具体的问题，在问题的解决中，注意记录下我们的思维活动的发展、变化过程，进而把握其规律。 为了能在问题的解决过程中充分的展示各种思维方式，我们选择下面给出的一道对各种思维方式要求较为全面的数学问题。 问题：空间内n个位置一般的平面能把空间分为几部分？[3] 案例 问题解决中的思维过程展示 1、归纳——首选的思维方式 师：我们先请一位同学说一说：准备怎样来解决这样的问题？ 生A：我准备先搞清1个、2个、3个平面能把空间分为几部分，然后设法找出规律，进而写出通项。 师：就是说：你准备从考察“个体”开始你的问题解决的过程，准备运用“归纳”的思维方法。 生A：是的。 师：搞清了1个、2个、3个平面能把空间分为几部分后，你就能保证可以从中找出规律、进而写出通项吗？ 生A：那我就继续考察4个、5个……平面能把空间分为几个部分。 师：看来你是要：誓把“考察个体，进而归纳”的方法进行到底了？ 生A：是的，因为我实在想不出其他方法了。 师：但是，在考察足量的“个体”的基础上写出的“通项”你就能保证一定是正确的吗？ 生A：……？ 案例 生B：还要给出证明。 师：是的。解决这一类问题时最合适的思维方法是“归纳”；“归纳”总是从“考察个体”开始；“归纳”所考察的“个体”其数量必须是足量的；“归纳”中所得到的一般性结论是需要得到证明的。下面就让我们一起来“考察个体”。我建议：不要使“分割面元”只取1、2、3、……，而是把“”也纳入被考察的系统，这样可使被考察系统更趋完备。 同学们考察了“分割面元”取值= 0、1、2、3这四个“个体”，并将考察所得到的结果列入表1。 表1 i Ni 0 1 1 2 2 3 4 8 案例 分析：这一段教学在交流中明确了如下两个问题 （1）问题中的“分割面元”取某一个具体的、且不太大的值（比如= 1、2、3），则对应的“空间被分割的数量Ni”相对比较容易确定（N1=2、N2=4、N3=8）；问题中的“分割面元”取某一较大的值（比如i=10）、或者取抽象的值（i=n），则对应的“空间被分割的数量Ni”确定起来就非常困难了（N10=? Nn=?）。针对问题所具备的这一特征，解决问题的思维方式选择“归纳”时比较明智的。 （2）“归纳”的方法从“考察个体”开始；被考察的“个体”其数量要足量、系统要完备（这对于归纳思维方法的下一个阶段作猜想是至关重要的）；“归纳”所得到的结论需要证明。 案例 2、猜想——归纳的必要阶段 师：同学们考察了“分割面元”取值0、1、2、3这四个“个体”，对记录在表1中的考察结果，谁能从中看出什么规律来吗？ 生（几乎全体）：对应着“分割面元i”，“空间被分割的部分Ni”为 （*） 案例 师：你们怎么一下就得出猜想（*）的呢？ 生C：从表1中提供的数据得出猜想（*），这不是一件极为简单、同时又是极为自然的事情吗？老师，难道您不是这样想的吗？ 师：应该承认：我和大家一样，在表1提供的数据基础上，我首先想到的也是提出猜想（*）；但我和大家又不一样，因为我清楚地意识到，猜想（*）仅仅是建立在表1所提供的数据基础上的“可能性”之一，而且随着被考察的“个体”范围的扩充，其正确性将会受到挑战。 生C：难道从表1所提供的数据中还可以写出不同于（*）式的一般表达吗？ 师：可以肯定。 生C：难道从表1所提供的数据基础上写出的形如（*）式的一般表达还不能得到确认吗？ 师：表1中的每一组数据当然都遵从（*）式所给出的一般表达式，但扩充被考察的系统后就另当别论了。我们不妨考察“i=4”的情况来检验