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数学建模之效益的合理分配 班级：数学081班 制作：张鹤 日期：2010年5月30号 题目 某甲（农民）有一块土地，若从事农业生产可收入1万元；若将土地租给某乙（企业家）用于工业生产，可收入2万元；若租给某丙（旅店老板）开发旅游业，可收入3万元；当旅店老板请企业家参与经营时，收入达4万元。为促成最高收入的实现，请问如何分配个人所得最为合理？ 问题提出： 题目中要求实现最大收益，很显然题目中三人合作的情况下所得的4万元为最高收入，试问在此种情况下，甲、乙、丙三者所应该得到的最合理的收入各为多少万元？ 问题的分析： 遇到这种问题我们会很容易的想到列方程求解的方去法分配：设甲、乙、丙三人合作后各得x1,x2,x3万元，满足x1+x2+x3=4 ① x1≥1,x2,x3≥0,x1+x2≥2,x1+x3≥2 ② 其中②式表示这种分配必须不小于单干或二人合作时的收入，但我们很容易看出①，②式有许多组解，如（x1,x2,x3）=(2,0,2), (1.8,0.3,1.9),(1.7,0.4,1.9)……许多组解，我们发现这种分配方式并不合理，应寻求一种圆满的分配方法！ 模型假设与建立 ： 我们上面提出的这类问题称为n人合作对策，Shapley L.S.1953给出了解决该问题的一种方法，称Shapley值。 首先，让我们先了解一下什么叫n人合作对策和Shapley值 n个人从事某项经济活动，对于他们之中若干人组合的每一种合作（特别，单人也视为一种合作），都会得到一定的经济效益，当人们之间的利益是非对抗性时，合作人数的增加不会引起效益的减少，这样，全体n个人的合作将带来最大效益。n个人的集合及合作的效益就构成n人合作对策， Shapley值是分配这个最大效益的一种方案。 其Shapley值的定义如下： 设集合I=﹛1，2，3……，n﹜，如果对于I的任一子集s都对应一个实值函数v(s)，满足 =0 ③ v(s1∪s2) ≥v(s1)+v(s2)，s1∩s2=空集④ 称[I,v]为n人合作对策，v为对策的特征函数. 在上面所述的经济活动中，I定义为n人集合，s为n人集合中的任一种合作，v(s)为合作s的效益. 用xi表示I的成员i从合作的最大收益v(I)中应得到的一份收入.x=(x1，x2……xn)叫合作对策的分配，满足 ∑ =v(I) ⑤ xi≥v(i)，i=1,2,……,n ⑥ 其中⑤式表示每个成员从合作最大收益中所得总额恰好为最大收益额 ⑥式表示每个人从最大收益额中所得不小于其每个人单干所得.显然，由③ 和④式定义的n人合作对策[I,v]通常有无穷多个分配. Shapley值由特征函数v确定，记作vvvvvvv 对任意的子集s，记vvvvv，即s中各成员的分配.对一切svvvv，满足x(s) ≥v(s)的x组成的效益集合称[I,v]的核心.当核心存在时，即所有s的分配都不小于s的效益，这时可将Shapley值作为一种特定的分配，即vvvvvv其中vvv的结果为： Shapley值vvvvvvv 其中Si是I中包含i的所有子集，/s/是 子集s中的元素数目（人数），w(/s/)是 加权因子，s\i表示s除掉i后的集合. 以上述Shapley值数学模型来对所给题目进行求解. 模型求解： 甲、乙、丙三人记为I={1，2，3}，经商获利定义为I上的特征函数，即vvv=0, v(1)=1, v(2)=v(3)=0, v(1,2)=2, v(1,3)=3, v(2,3)=0, v(I)=4 容易验证v满足上述③和④式，为计算vvvv首先找出I中包含1的所有子集S1：{1}， {1，2}，{1，3}，{1，2，3}然后令s跑遍S1,由此我们得到表一如下： 表一 由表一我们得出vvv1=2.5万元，即甲的收益为2.5万元。 对此表中的解释： 对表一中的s,比如{1，3}，v(s)是有甲（即{1}）参加时合作s的获利，v(s\1)是无甲参加合作时s的获利， v(s)- v(s\1)视为甲对这一合作的“贡献”，用Shapley值计算的甲的分配值vvv是甲对他所参加的所有合作（S1）的加权平均值，加权因子w(/s/)取决于这个合作s的人数.也就是按贡献取得报酬. 于是，接下来我们可以用同