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三、比例、类比关系建模 比例是最基本、最初等的数学概念之一，很多实际对象蕴 含着比例关系。 通常，如果y与x成正比，可以记为y∝x或者y=kx（其中k称 为比例因子）等等。 例如，一个均匀物体的重量M和它的体积V成正比， M ∝V；对于形状相似的物体，它的表面积S和它的特征长度L2 成正比， S ∝ L2，它的体积V和特征长度L3成正比， V ∝ L3， 则它的体积V和表面积S的比例关系为 利用这种关系转换，可以简单的构造有关问题的轮廓模型。 类比分析建模方法就是根据两个（或者两类）系统某些属性或 关系的相似性去猜测两者的其它属性或关系。其中，物理系统 的类比分析使用已经很广泛，例如人的肌肉跟弹簧的类比等。 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 模型一：如何估计动物的体重 问题的提出：生猪收购站或屠宰场的工作人员都希望能从 生猪的身长估计出它的体重，以便提高工作效率。因此研究四 足动物躯干（不含头尾）的长度与它的体重的关系有着现实的 意义。 分析：动物的生理构造因种类不同而异，如果陷入生物学 复杂生理结构的研究，将很难得到满足上述目的的有使用价值 的模型。因此为简化起见，我们仅在十分粗略的假设基础上， 利用类比的方法，借助力学弹性梁理论的某些结果，建立四足 动物身长和体重的比例关系，从而可以根据猪的长度大约估计 出猪的体重。 模型的应用：利用这个结果，对于某一种四足动物，比如 生猪、羊、牛等，就可根据大量试验，从统计数据中找出这个 比例常数，从它的躯体长度估算出它的体重。 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 模型二：划艇比赛的成绩 划艇是一种靠浆手划桨前进的小船，分单人艇、双人艇、 四人艇、八人艇四种。各种艇虽大小不同，但形状相似。现比 较各种划艇1964-1970年4次2000m比赛的最好成绩（包括1964 年和1968年的两次奥运会和两次世锦赛），发现他们之间有相 当一致的差别，似乎成绩与浆手数量之间存在某种联系，试建 立数学模型来解释这种关系。 艇种 单人 双人 四人 八人 2000m成绩t（min） 1 7.16 6.87 6.33 5.87 2 7.25 6.92 6.42 5.92 3 7.28 6.95 6.48 5.82 4 7.17 6.77 6.13 5.73 平均 7.21 6.88 6.32 5.84 艇长 l（m） 7.93 9.76 11.75 18.28 艇宽 b（m） 0.293 0.356 0.574 0.610 l/b 27.0 27.4 21.0 30.0 艇重/浆手数 16.3 13.6 18.1 14.7 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 模型分析：在这个问题中，由于划艇的速度、阻力、浆手 的输出功率等变量之间的精确关系不易找出，各时刻划艇的绝 对速度也很难得到，建立精确的模型来描述划艇的运动是困难 的，而我们现在关心的只是划完全程的时间，因此我们可以在 不太精确的假设下用比例分析的方法组建模型来描述它。 根据表中数据，可以看出，浆手数n增加时，艇的尺寸l、b 及艇重w0都随之增加，但比值l/b和w0 /n变化不大。若假设l/b是 常数，即各种艇的形状相同，则可得到艇浸没面积和排水体积 之间的关系。若假定w0 /n是常数，则可得到艇和浆手总重量与 浆手数之间的关系。此外还需对浆手体重、划桨功率、阻力与 艇速的关系等方面作出简化且合理的假定，才能运用合适的物 理定律建立需要的模型。