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数学建模 主讲 张曙光 副教授 孙中品 讲 师 第一讲 数学建模概论 一 数学建模与数学建模竞赛 二 数学建模与我们的生活 三 数学建模概论 一 数学建模与数学建模竞赛 数学建模课程 数学建模竞赛 二 数学建模与我们的生活 1.椅子放稳问题 2.手机套餐选择 3.步长问题 雨中行走问题 4.最短线路问题 5.贮存(进货)模型 化工车间排气模型 决策模型-年金分配 6.公平席位分配 7.传染病模型 减肥模型 赝品的鉴定 8.循环比赛的名次 9.田忌赛马 10.渡河问题 3 走路步长的选择 问题提出 模型建立 模型求解 请你思考?问题提出　　人在走路时所作的功等于抬高人体重心所需的势能与两腿运动所需的动能之和。在给定速度时，以作功最小（即消耗能量最小）为原则，走路步长选择多大为合适？　　模型假设　　m-----人体质量, m’-----每条腿的质量,　　s-----步长, n-----单位时间内走的步数,　　g-----重力加速度, v-----走路速度(设为匀速),　　l-----腿长, θ-----腿与垂线夹角，　　Δ-----人体重心在走路时上下移动的幅度,　　Wf-----单位时间内消耗的势能, 　　Ws-----单位时间内消耗的动能,　　走路时把腿视为刚体棒，假设腿的质量集中在脚上。 模型建立 　　 如图可知，  ∴ 　　另一方面，假设腿的质量集中在脚上，而脚的运动速度为v。　　∴ 　　因此，总能量消耗为　　 模型求解为了使能量消耗最小，应有　　　　　　　　 　　约去v/4得 　　　　　　　 　　　　　　　 　　　　　　　 　　　　　　　????????????? 　　 例如，某人m=65kg, l=1m，m’=10kg， v=1.5m/s，则　　　　　　　　　  (米/步) 　　　　　　　　　 　　　　　　　　　n=v/s=1.5/0.37≈4(步/秒)　　模型基本上符合实际。 请你思考 　　　　观察鱼在水中的运动发现，它不是水平游动，而是锯齿状地向上游动和向下滑行交替进行。可以认为这是在长期进化过程中鱼类选择的消耗能量最小的运动方式。设鱼总是以常速v运动，鱼在水中净重为w，向下滑行时的阻力是w在运动方向的分力；向上游动时所需的力是w在运动方向分力与游动所受阻力之和，而游动的阻力是滑行阻力的k倍。水平方向游动时的阻力也是滑行阻力的k倍。试证明，鱼沿折线ACB运动的能量消耗与沿水平线AB运动的能量消耗之比为 　　　　　　　　　 　　另据实际观测得α=11o20’,k=3.此时β为多大时p最小？ 　　参考答案 5. 存贮模型 问题与假设 建模与求解 EOQ注记?问题与假设问题提出　　通常工厂要订购各种原材料存在仓库里供生产用； 　　商店要成批地购进各种商品供零售用； 　　　　那么每隔多长时间订货一次、每次订货量为多少最合算？ 　　模型假设 　　　1．每隔T 天订货一次，即订货周期为T 天. 　　2．每次订货量为Q吨 .　　3．每次订货费用为C1元（不包括买货费用，与Q无关）. 　　4．每天对货物的需求量为r吨 .　　5．货物每吨每天的库存费用为C2元.　　6．货物每天每吨的缺货费用为C3元（因缺货而造成的损失）. 　　7．t------时间，q--------库存量，C------总费用. 建模与求解 　　总费用=订货费+库存费+缺货费(1)不允许缺货的情形 　　　(2)允许缺货的情形　总费用C= C1+ C2TQ/2 　总费用 C=C1+ + 　　 　　　　　　　　　　　  （ Q*为最佳订货量） 　　　　（ Q*为最佳订货量　　　　　　　　　　　　　　 Q1为最大库存量　　　　　　　　　　　　　　 Qs为允许最大缺货量） 　　　　　请看详细推导 　　　　　 EOQ注记 　　以上EOQ 库存模型 (Q0) (1)??? 其解为： ?????????????????? (2)　　此式称为EOQ公式，Q*称为最佳定货批量，它是(1)的唯一最小值点。　　然而，对于大多数实际问题，都要求批量Q为正整数，而EOQ公式的计算结果一般不一定是正整数。通常教科书介绍的做法是通过比较Q*左右两旁的