论文—一种评卷方案的优化模型.doc

PAGE PAGE 9 西北大学学报(自然科学网络版) 2004年8月，第2卷，第8期 Science Journal of Northwest University Online 　 Aug. 2004，Vol.2，No. 8 ________________________ 收稿日期：2003-10-24 基金项目：陕西省教育厅专项科研基金资助项目（02JK049） 审 稿 人：叶正麟，男，西北工业大学应用数学系教授。 一种评卷方案的优化模型 窦霁虹，姬利娜 （西北大学 数学系，陕西 西安 710069） 摘　要：针对某些考试不必排名只需归类分级的目的，提出了交错分级淘汰制，建立了多目标规划模型确定该法涉及的参数。该方法减小了工作量，降低了系统误差和偶然误差对评卷结果的影响。 关键词：交错分级淘汰法；综合评价值；系统误差；优化模型 中图分类号：TB114.1 文献标识码：A　　　　　文章编号：1000-274X(2004)0086-09 社会上的各种等级考试（如大学生四、六级英语口语考试，分A、B、C、D 4个等级）和学校里的各种竞赛活动（如全国大学生数学建模竞赛某赛区要评出特等、一等、二等、三等、无奖5个等级）的共同点是评卷结果不必排名只需归类分级。如何保证结果的公正性和科学性，是一个值得探讨的问题。 最常见的评卷规则都是与平均值有关的，如平均排序法和去掉最高分、最低分的平均排序法[1]。上述方法的共同点是每位评委要给所有的答卷打分，工作量很大；再者，打分时往往出现系统误差。例如，同一批答卷，甲评委平均给70分，而乙评委可能给85分。如此，各评委的打分不在同一可比较的水平上，直接求平均值不科学，而且各评委打分时有偶然误差。针对此类等级考试和竞赛结果无须排名只需归类分级的特点，结合对全国大学生数学建模竞赛某赛区历年来评阅结果的利弊分析，在加权平均的基础上，提出了交错分级淘汰法评卷方案，即依各等级预定的比例，从低等到高等分批归类。 设有份答卷，位评委。要将答卷划分等，第等预定的比例为 评委对答卷的打分在区间内。当、较大时，可分组评卷。 1　系统误差的确定 系统误差主要是由对同一批答卷各评委所给平均分不同造成的。经系统误差调整后，对同一批答卷各评委给的平均分要相同。系统误差是对整体份答卷而言的，可以用抽样的方法近似求得。抽样单位数的多少决定了抽样估计的可信程度[2]。定义抽样估计的可信程度。随机取样本答卷份，位评委分别给所有的答卷打分，记第位评委给第份答卷的打分为，则可得一个阶的评价矩阵[3]，记为 A= 第位评委给这份答卷的平均分，记为 这份答卷的平均分，记为 记第位评委的系统误差为，则有 ，可得 2　交错分级淘汰法的基本过程 2.1　计算l份样本答卷的综合评价值 第 份答卷的综合评价值，记为，则用加权算术平均法可得 ， 2.2　对轮改轮数的讨论 假设共进行轮。其中。 情形1　 分等可转化为分等，此时可看作 。 情形2　 先将分等转化为分等，此时可看作 2.3　p=k时的交错分级淘汰法 让所有评委围坐在圆桌前，然后对评委依次从编号直至。随机将剩余的份答卷从编号直至。若第位评委给第份答卷打分，则 记为该分值，否则记为0，得一个阶的评价矩阵，记为。如果第份答卷被淘汰掉，记矩阵中第列为0向量，该份答卷不再参与淘汰过程。若第1轮中，按编号从小到大等分答卷 ，各评委给自己分得的答卷打分，第 份答卷的综合评价值，记为，则 。将这份答卷和份样本答卷依据综合评价值排序，大约淘汰最差的份答卷。第2轮中，各评委将手中剩余答卷向右传给下一位评委且尽量保证等分，各评委给新分得的答卷打分，第 份答卷的综合评价值，记为，则 。将第1轮中未被淘汰的答卷依据综合评价值排序，淘汰最差的一部分答卷，和第1轮中淘汰的答卷组成第等答卷。再淘汰最差的份答卷。依次类推直至第轮。记为第轮评委打分的次数。易知。 第轮对编号在到的未淘汰掉的份答卷，依圆桌会议的原则，每位评委给自己未曾打分的答卷打分。第 份答卷的综合评价值，记为，则 。依综合评价值，淘汰最差的一部分答卷，和第轮淘汰的第等答卷组成第等答卷。再淘汰最差的份答卷。将第轮的的评价矩阵记为 C = 第轮将矩阵中的非0元素转化为名次分，得新的评价矩阵 D = 由文献[5]中的评比规则，淘汰最差的一部分答卷为1等，和第轮淘汰的第等答卷组成第1等答卷。剩余的答卷为特等。 3　对交错分级淘汰法的评估 3.1　工作量的估计 小样确定系统误差打分次，第轮打分次，第轮打分次。不妨假定，编号在到的答卷与编号在到的答卷在每一次，淘汰掉的比例均相同。则，打分的次数大约为 3.2　抽样估计的可信程度