2016年数学建模C题优秀论文新.doc

题目 古塔变形问题 摘要 本文主要分析了古塔因为受自重、气温、风力、地震、飓风的影响产生倾斜、弯曲、扭曲等变形的问题。 问题一通过将每层的点近似在一个平面上，Z坐标取各层高度的平均值，采用中心点到各点的距离总和最小分别求得各年各层中心点的坐标。各年各层中心点坐标见附录1. 问题二塔的倾斜度通过三维拟合各层的中心点坐标，通过画出散点图，发现1986年与1996年第13层数据异常，我们去除那两点考虑，通过空间三维拟合得到一条直线，然后将直线投影到平面上，直线与在平面上的投影的夹角就是古塔的倾斜角。通过MATLAB解得1986年倾斜角为；1996年倾斜角为；2009年倾斜角为；2011年倾斜角为。 问题二塔的弯曲程度通过各层各中心点的连线的和与塔顶到塔底两中心点的距离的比值来分析，用Lingo解得1986年弯曲度=1.003431；1996年弯曲度=1.003436；2009弯曲度=1.000023；2011年弯曲度=1.000023； 问题二塔的扭曲程度根据古塔各年份之间每层边缘点的扭转情况，来分析整个塔的扭转情况。通过计算1986年第一层和1996年第一层与2009年第一层和2011第一层与1986年第一层和2011年第十三层各边缘点扭转角的平均值均为0；可以发现古塔没有发生扭转。. 问题三分析塔的变形趋势，塔的倾斜程度通过拟合四年的倾斜角度得出方程式，可知随着年数的增加，倾斜速率越来越快。塔的弯曲情况通过拟合四年的弯曲度得出方程式,可知古塔的弯曲会随着时间的推移而越来越弯曲。塔的扭曲变形趋势的分析通过问题二中对塔的扭曲问题的求解，发现古塔没有发生扭转，因此不考虑。 关键词 MATLAB7.0 Lingo8.0 三维拟合 非线性拟合 一 、问题重述 由于长时间承受自重、气温、风力等各种作用，偶然还要受地震、飓风的影响，古塔会产生各种变形，诸如倾斜、弯曲、扭曲等。为保护古塔，文物部门需适时对古塔进行观测，了解各种变形量，以制定必要的保护措施。 某古塔已有上千年历史，是我国重点保护文物。管理部门委托测绘公司先后于1986年7月、1996年8月、2009年3月和2011年3月对该塔进行了4次观测。 请你们根据附件1提供的4次观测数据，讨论以下问题： 1. 给出确定古塔各层中心位置的通用方法，并列表给出各次测量的古塔各层中心坐标。 2. 分析该塔倾斜、弯曲、扭曲等变形情况。 3. 分析该塔的变形趋势。 问题分析 古塔由于受自重、气温、风力.、地震、飓风等影响，古塔会产生诸如倾斜、弯曲、扭曲等变形，为了保护文物，需对古塔倾斜、弯曲、扭曲等进行分析，此题研究的是古塔的倾斜、弯曲、扭曲变形情况的问题。 对于问题1，我们通过分析数据，发现古塔各层测得数据高度相差很小，所以我们把每一层测得的数据近似为一个平面，中心点高度Z为各层所测高度的平均值。每层通过用中心坐标到各点的坐标总距离最小求得中心点（X，Y）坐标。 对于问题2，塔的倾斜情况我们通过求出各年各层的中心点坐标，每一年的倾斜角我们通过空间拟合出各层中心点的坐标得到。特别说明，通过线性拟合发现1986、1996第13层的中心点坐标异常，所以空间拟合时我们去除1986、1996年第13层的坐标进行拟合，同时计算出倾斜角。 对于问题2，塔的弯曲情况我们通过各中心点连线的和与塔顶到塔底两中心点的距离的比值来分析，比值越大，弯曲越明显。 对于问题2，塔的扭曲情况，根据古塔各年份之间每层边缘点的扭转情况，来分析整个塔的扭转情况。 对于问题3，塔的变形趋势，我们对塔四年的倾斜程度、弯曲度作非线性拟合，通过拟合成函数，预测塔未来的倾斜、弯曲情况。对于塔的扭曲情况通过问题2的求解，发现古塔没有发生扭转，所以我们不考虑古塔的扭转趋势。 模型假设 假设每年每层测得的数据没有错误。 假设各层测得的数据在同一平面内。 假设各层测的的点的连线为多边形。 4、假设古塔在各年份之间每层所测的点在同一平面内。（该假设针对塔的扭转程度的分析） 5、假设中心点到各边缘点之间的总和最短。 四、符号说明 古塔各层的中心点轴坐标 古塔各层的中心点轴坐标 古塔各层的中心点轴坐标 古塔各层所测点的轴坐标 古塔各层所测点的轴坐标 古塔各层所测点的轴坐标 古塔的层数 倾斜角度 弯曲程度系数 边缘点扭转角的平均值 五、模型的建立 . 对于问题1： 设古塔中心坐标为 ，古塔各层各点坐标为（）,且有层。各层中心坐标求解如下： 在1986年和1996年； 当=1~12时： (=1…12) 当=13时： （=13） 当=14时： （