（精）理论力学 拉格朗日运动方程.ppt

第二章 拉格朗日运动方程 §2. 1 约束 广义坐标 §2. 2 达郎贝尔原理 §2. 3 完整约束拉格朗日方程 §2. 4 非完整约束的拉格朗日方程 §2. 5 对称性和守恒定律 §2. 1 约束 广义坐标 一、约束与分类 1、约束：限制各质点自由运动的条件。 2、分类 (1)几何约束和运动约束( 微分约束) 几何约束: fi ( r1, r2, …rn ,t ) = 0 运动约束: fi ( r1, r2, …rn , v1, v2, …vn ,t ) = 0 ( i =1, 2, … k ) 式中 k 为约束个数, 独立约束的个数≤3n 。 §2 . 2 达郎贝尔原理 一、虚位移 假想的、符合约束条件的、无限小的、即时的位置变更，δr . 注意:(1)某一固定时刻, 即: dt = 0. (2) 与实位移 dr 无关. 理解: dr = δr + vo dt 当 v →∞, dt → 0 , dr → δr . §2.4 非完整约束的拉格朗日方程 §2.4 非完整约束的拉格朗日方程 m l θ m l θ §2.5 对称性和守恒定律 (2) 稳定约束和非稳定约束 稳定约束: 约束方程不显含 t 的约束。 非稳定约束: 约束方程显含 t 的约束。 例：稳定的几何约束：fi ( r1, r2, …rn ) = 0 稳定的运动约束: fi ( r1, r2, …rn , v1, v2, …vn ) = 0 ( i =1, 2, … k ) (3) 可解约束和不可解约束 不可解约束：约束方程为等式。 可解约束：约束方程可在一个方向偏离等式。 例：不可解几何约束： fi ( r1, r2, …rn ,t ) = 0 可解几何约束： fi ( r1, r2, …rn ,t ) ≥ 0 或 ≤ 0 。 (4)完整约束和非完整约束 非完整约束: 有两种情况 (a) 可解约束; (b) 微分约束中若约束方程不能单独积分 ( 必须与运动方程联立才能积分,即解出运动的同时才能积分 ). 完整约束: 除上述两种情况外的约束. 今后主要研究受完整约束的力学体系, 即研究完整系的力学问题. 例1：一球面摆，O 点固定；OM 为轻刚性杆，杆长为l ；M 点系一质点，其质量为 m 。 设O 点为直角坐标原点，则质点 M 的约束方程为： x2 + y2 + z2 - l2 = 0它是稳定、不可解、几何、完整约束。 若O 点不固定，在 x 方向有一恒定速率 c，t = 0 时O 点处于坐标原点，则约束方程为: (x – ct)2 + y2 + z2 - l2 = 0 它是非稳定、不可解、几何、完整约束。 O M l 例1：一球面摆，O 点固定；OM 为轻刚性杆，杆长为l ；M 点系一质点，其质量为 m 。 若OM为不可伸长的柔软绳 ，则约束方程为： O点固定： x2 + y2 + z2 - l2 ≤ 0 O点不固定：(x – ct)2 + y2 + z2 - l2 ≤ 0 它是可解约束。约束空间为以O为球心、l 为半径的球体。 O M l 例2：线性三原子分子组成的体系只能在该连线上运动。体系在无外力作用。 分析：体系的质心速度为常数，即约束方程为： vC = C （微分约束） 积分得：xC = C t + xCo x1 m2 m3 m1 x2 x3 B B’ B” A dr δr v vodt’ vodt” vo A O x y D(x2,y2) B (x3,y3) F C(x1,y1) P1 P2 β α A O x y D(x2,y2) B (x3,y3) F C(x1,y1) P1 P2 β α §2. 3 完整约束拉格朗日方程 A O y x D(x2,y2) B (x3,y3) F C(x1,y1) P1 P2 β α 对于非理想约束的处理： 理想约束的条件是从实际约束的主要因素中抽象出来的，在理想约束不满足的情况下，可增加主动力和约束力而视为理想约束。 具体处理方法是： 把非光滑约束中起限制作用的法向分量视为约束力，而将起限制作用的切向分量——摩擦力视