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n * 2. 二面角与平面和 平面的垂直关系 9.7 直线和平面所成的角与二面角 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面. 一、二面角的定义 二面角 二面角 2、二面角的表示方法 A B ? ? 二面角?-AB- ? ? ? l 二面角?- l- ? 二面角C-AB- D A B C D A B C E F D 二面角C-AB- E 1、定义 二面角 二、二面角的平面角 A B P ? ? l 1、定义 二面角的平面角必须满足: 3)角的两边都要垂直于二面角的棱 1)角的顶点在棱上 2)角的两边分别在两个面内 二面角的平面角的范围: 0??180? 二面角的大小用它的平面角的大小来度量 以二面角的棱上任意一点为端点, 在两个面内分别作垂直于棱的两条射线, 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角 A1 B1 P1 注意: (与顶点位置无关) ∠APB= ∠A1P1B1 练习: 指出下列各图中的二面角的平面角: B A C D A’ A B’ C’ C D’ D B 二面角B--B’C--A A D B C ? ? l 二面角?--l--? AC⊥l BD ⊥l O E O O 二面角A--BC--D D 14 2、作二面角的平面角的常用方法 ①、点P在棱上 ②、点P在一个半平面上 ③、点P在二面角内 l P ? ? A B A B P ? ? l A B O ? ? l P —定义法 —垂线法 —垂面法 二面角 ? ? A B P M N C D O 解: 在PB上取不同于P 的一点O, 在?内过O作OC⊥AB交PM 于C, 在 ? 内作OD⊥AB交PN于D, 连结CD,可得: 设PO = a ,∵∠BPM =∠BPN = 45o ∴CO=a,DO=a, PC a , PD a 又∵∠MPN=60o ∴CD=PC a ∴∠COD=90o 因此,二面角的度数为90o 二面角 例1.如图,已知P是二面角 棱上一点,过 P 分别在?、?内引射线PM、PN,且∠MPN=600, ∠BPM =∠BPN =450,求此二面角的度数。 ∠COD是二面角 的平面角 ① ② ③ 一“作” 二“证” 三“计算” ? ? A B C D 例3. A为二面角?-CD- ? 的棱CD上一点,AB在平面?内且与棱CD成45o角,又AB与平面? 成30o,求二面角?-CD- ? 的大小。 二面角 H O 解:作BH?于?于 H,连结AH 过H作HO?CD于O,连结OB 由三垂线定理可得: BO?CD ∠BOH是二面角 的平面角 则 ∴所求二面角的大小为45o 设AO =a 在Rt?AOB中,BO=a, AB= a 在Rt?AHB中,?BAH= 30o, AB= a, BH= a 在Rt?BHO中,sin ∠BOC= 解: ? ? A B P l O 二面角 例2.如图P 为二面角 内一点,PA⊥?,PB⊥?, 且PA=5,PB=8,AB =7,求这二面角的度数。 设过PA、PB 的平面PAB 与棱l 交于O 点 ∵PA⊥? ∴PA⊥ l ∵PB⊥? ∴PB⊥ l ∴ l ⊥平面PAB ∴∠AOB为二面角 的平面角 又∵PA=5,PB=8,AB=7 由余弦定理得 ∴∠P = 60o ∴∠AOB=120o ∴所求二面角的度数为120o 1、如图,AB是圆的直径,PA垂直圆所在的平面,C是圆上任一点,则二面角P-BC-A的平面角为: A.∠ABP B.∠ACP C.都不是 练 习: O A B C P 60o 二面角 2、已知P为二面角 内一点,且P到两个半平面的距离都等于P到棱的距离的一半,则这个二面角的度数是多少? P β l A B 小 结 二面角 一、二面角的定义: 二、二面角的表示方法: 三、二面角的平面角: 四、二面角的平面角的作法: 五、二面角的计算: 从一条直线出发的两个半 平面所组成的图形叫做二 面角。这条直线叫做二面 角的棱。这两个半平面叫 做二面角的面。 二 面 角 ?-AB- ? 二 面 角 C-AB- D 二 面 角 ?- l- ? 1、二面角的平面角必须满足
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