（精）群论第四章.ppt

例 自由粒子 自由粒子的哈密顿算符仅包含动能部分，即 波函数的形式为 ， 是粒子的波矢，在任何平移算符 作用下H都不变，H与 可对易，于是粒子的动量守恒 同样是自由粒子的波函数。 在量子力学中，能量算符 若H本身不显含时间t，那么，H在 的作用下不变，所以H与 对易，即： 按照薛定谔方程，此时体系状态随时间的演化规律与时间零点的选取无关，即体系具有时间均匀性。 因此 也满足薛定谔方程，则我们可用H代替 得 ： 因为 是实数，而是 厄米的，所以 是一个么正算符。同样我们可得到如下定理： 定理2：若物理体系在所有的时间平移下是不变的，则其能量是运动恒量，或者说体系的能量是守恒的。 所有时间平移算符 的集合也是一个连续的、连通的、单参数非紧致的阿尔贝群，它也是物理体系所具有的一种对称性群，如果体系在这个群的作用下不变，则体系的能量守恒。 例如，对于孤立的氢原子，不存在微扰时，其哈密顿算符对所有的时间平移是不变的。所以，如果原子在一给定的时刻处于一特定的状态，则它在所有的时刻都继续处于此同一状态，且体系的总能量保持不变。 生群元: 群元： ② 其中 与 分别是绕垂直于 轴而与 轴的夹角为 及 角的轴转过 角的操作。 ③ 群元： 生群元: ④ 生群元: 群元： 其中 的转轴均位于 平面上，与 轴的夹角分别为 。 点群 的极射投影图 (6). 群 群增加一个水平镜面反射，则又得到四个新群 记为 ，这类群是由 组合而成。 群包含了在水平面上的二度转轴，它们与 组合成 给 群与水平镜像 垂直镜像 ，因此， 群共有 个群元，其中 个是群的正当转动， 个垂直镜像 以及 个旋转反演操作 。 群的类数是 群的2倍，即 m=奇数时有 个类， m=偶数时 有个类。 ① 生群元: 群元： 除 群的群元外，再加 与 的组合： 生群元: ② 群元： 除 群的群元外，再加 与 的组合： ③ 群元： 生群元: 除 群的群元外，再加 与 的组合： ④ 生群元: 群元： 除 群的群元外，还包含12个元： 点群 的极射投影图 (7). 群 由 组合而成的群，称为 群。 其中 的镜面包含主轴并平分垂直于主轴的相邻二度轴的夹角，共 个， 群只有两个： 和 。 群与垂直镜像 ① 生群元: 群元： 除 群的群元外，再加 与 的组合： 其中 的镜面垂直于 平面并平分 轴之间的夹角。 生群元: ② 其中 的镜面平分 轴与 轴之间的夹角，即： 群元： 除 群的群元外，还有6个元： 点群 的极射投影图 (8)四面体群T群 保持正四面体空间位置不变的有限转动群, 称为四面体群. T群12个元素分4个类: T群有4个不等价不可约表示: T群不变子群 与D2同构，其商群T/D2={D2，C3 D2， C32 D2}与三阶循环群同构，可得T群的三个一维不等价表示 T群有1个3维表示: (9) 八面体群O群: 正八面体对称转动群, 称为八面体群. 12个棱边中相对棱中点连线给出6个2阶轴； 8个面中相对面重心连线给出4个3阶轴； 6个顶点中相对顶点连线给出3个4阶轴。 共有5个类，故有5个不等价不可约表示 2个一维表示，一个二维表示，二个三维表示 (1) 熊夫利斯（Schoenflies）符号表示法 特点: 1).字符少: 少则一个, 如 O, T; 多则三个，如C2v, D6v. 2).直接表示了对称性的主要特征 如 C2v 表示有四次对称轴和垂直与该轴的对称面 (2) 表示点对称操作的符号 （如前面所用的） 1) E，不变操作 2) Cn，转角为2π/n 的正当转动 （n = 1，2，3，4，6） 3) Sn，转角为2π/n 的非正当转动 （n = 1，2，3，