有限元简述..doc

椭圆方程的有限元法 有限元法是与差分法并驾齐驱的一套求解偏微分方程的方法。它的基本想法是，首先把微分方程转化成一种变分方程（微分积分方程），从而降低了对解的光滑性和边值条件的要求；然后，把求解区域划分成有限个单元（有限元），构造分片光滑函数，这个光滑函数由其在单元顶点上的函数值决定；最后，把这个分片光滑函数带入到上述微分积分方程中去，就得到关于单元顶点函数值的一个线性方程组，解之即得有限元解。与差分法相比，有限元法易于处理边界条件，易于利用分片高次多项式等等来提高逼近精度。 空间 作为例子，我们将考虑区间上的微分方程。用表示在上勒贝格平方可积函数的集合，表示本身以及直到阶的导数都属于的函数的集合。我们下面用到的主要是。这里所说的导数准确地说是应该是广义导数，对此我们不予详细说明，只需知道比如说，连续的分片线性函数（折线函数）就属于，其广义导数是分片常数函数。另外，我们还用到空间。（空间=函数集合。） 变分方程 考虑两点边值问题 （1） （2） （3） 其中都是区间上的光滑函数，并且，是一个正常数。 用中任一函数乘（1）式两端，并在上积分，得 （4） 利用分部积分，并注意和，得 以此代入到（4）得到 （5） 为了方便，定义 （7） （8） 则相应于微分方程（1）-（3）的变分方程为：求满足 （9） 注意在（9）中不出现二阶导数。可以证明，满足微分方程（1）-（3）的光滑解一定满足变分方程（9）。（9）的解称之为（1）-（3）的广义解，它可能只有一阶导数，因此可能不是（1）-（3）的解；但是如果它在通常意义下二阶可微，则一定也是（1）-（3）的解。另外，注意在变分方程（9）中，我们强制要求广义解满足边值条件，因而称之为强制（或本质）边界条件；而对边值条件，则不加要求。但是可以证明，如果广义解在通常意义下二阶可微，则一定有，即这个边界条件自然满足。这类边界条件称之为自然边界条件。总之，变分方程（9）不但降低了对解的光滑性的要求，也降低了对边值条件的要求。 有限元空间 构造有限元法的第一步与差分法一样，也是对求解区间作网格剖分。相邻节点之间的小区间称为第个单元，其长度为。记。 在空间中，按如下原则选取有限元空间：它的元素在每一单元上是次多项式，并且在每个节点上都是连续的。当时，就得到最简单的线性元，这时每个可表为 ， （10） 其中 。 图1. 一维线性元 线性元的另外一种表示方法是利用以下具有局部支集的基函数： （11） （12） 图2. 线性元的基函数 显然，任一可以表为 （13） 有限元方程 将变分方程（9）局限在有限元空间上考虑，就得到有限元方程：求有限元解满足 （14） 注意到和都可以表示成（13）形式，容易看出（14）等价于如下的线性方程组：求节点上的近似解满足 （15） 这个线性方程组是三对角的，可以用追赶法求解。 可以把微分方程（1）、变分方程（9）和有限元方程（15）比喻为确定“好人”的三种标准：他每时每刻表现都好；大家都说他好；一个遴选委员会说他好。 误差估计 可以证明，微分方程（1）-（3）的解和有限元方程（14）或（15）的解之间的误差满足 （16） 其中是一个常数； 表示范数，定义为 , （17） 二维椭圆方程有限元法 以二维区域上的Poisson方程第一边值问题为例： ， （18） （19） 其中是以为边界的一个二维区域。利用Gr