（精）第四节(解析函数).ppt

* * §1.4 解 析 函 数 上一节我们学习了复数的导数, 导出柯西-黎曼方程,本节我们 学习解析函数的概念 ? 解析函数的概念 试证 在复平面上解析，且求 练习： 解析函数的性质 (1)若函数f(z)=u+iv,在趋于B上解析,则 u(x,y)=C1, v(x,y)=C2 (C1C2为常数)是B上的两组正交曲线族 两边分别相乘,得 即 梯度 正交 分别是曲线u=常数和v=常数的法向矢量, 因此 U=常数和v=常数是互相正交的两曲线族 (2)若函数f(z)=u+iv在区域B上解析,则u,v均为B上的调和函数 调和函数指如果某函数H(x,y)在区域B上有二阶连续 偏导数且满足拉普拉斯方程 则称H(x,y)为 区域B上的调和函数. 后边我们将证明,二阶偏导数 存在且连续,对柯西-黎曼方程 前一式子对x求导,后一式子对y求导,相加可以消除v,得到 同理可得 以上说明u(x,y)和v(x,y)都满足二维的拉普拉斯方程,即都是 调和函数,又由于是同一个复变函数的实部和虚部,所以又特别 称之为共轭调和函数 若给定一个二元的调和函数,可以看做某个解析函数的实部 (虚部),利用柯西-黎曼条件求出相应的虚部(实部),也就确定了 这个解析函数. 给定的二元函数u(x,y)是解析函数的实部,求相应的虚部v(x,y) 二元函数v(x,y)的微分式是 由柯西-黎曼条件可得 是全微分 满足拉普拉斯方程 可以用下列方法计算出 (1)曲线积分法 全微分的积分与路径无关,可选取特殊积分路径 使积分路径容易算出. (2)凑全微分法 微分的右端凑成全微分显式,v(x,y)自然求出 (3)不定积分法 以上方法同样适用于从虚部v求实部u的情况 例1 已知解析函数f(z)的实部u(x,y)=x2-y2,求虚部和解析函数 解: 验证u是调和函数, 满足拉普拉斯方程,确实是某解析函数 的实部. 根据柯西-黎曼条件有 (1)曲线积分法 先计算u的偏导数 由此可得 dv=2ydx+2xdy 右边是全微分,积分值 与路径无关,为便于计算,取如图路径: (x,0) (x,y) o x y C为积分常数 (2)凑全微分法 由上已知 dv=2ydx+2xdy 很容易凑成全微分形式d(2xy),则 dv=d(2xy) 此时显然有v=2xy+C 实质上也是曲线积分法,在容易凑微分的时候很方便. (3)不定积分法 上边算出 第一式对y积分,x看做参数,可得 其中 为x的任意函数,再 对x求导 由柯西-黎曼条件知道 从而有 可得v=2xy+C 解析函数为 例2 已知解析函数f(z)的虚部 求实部u(x,y)和解析函数f(z) 解 直角坐标系下， 的计算比较烦琐，改用极坐标系 求u(x,y)的方法和例1一样，可以用三种方法，这里只介绍全微 分显式法，先计算v的偏导数 由柯西－黎曼方程可得 则可得 因此可得 例 解 * * * *