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分维与分形 2004级数学试点班 张德懿 一个特例 1·什么是分维 一 、为什么要分维？ 分维为我们认识世界中的复杂形态提供了一个新的尺度。复杂性是现代科学的前沿，在科学研究的过程中，发现了许多分形规则的复杂形态，而分数维的是测量这些复杂程度的一种度量。也就是说分维是对复杂性作定量分析的工具。 二、分维的概念 1. 整数维（拓扑维或传统的维数 ） a. 点 —— 零维 b. 线 —— 一维 c. 面 —— 二维 d. 体 —— 三维 2. 分数维 现在我们从测量的角度引入了维数概念，将维数从整数扩大到分数。即： 如果某图形是由把原图缩小为1/λ的相似的ｋ个图形所组成，有：ｋ= λ^D D即维数 D = logｋ/logλ 其中： λ 为线度的放大倍数 ｋ为“体积”的放大倍数 易见，这样定义的维数包括规整的对象（线、面、体）的整数维。 D线=log2/log2=1 D面=log4/log2=2 D体=log8/log2=3 对于Sierpinski三角形我们有： D=log3/log2 =1.58… 思考： 1 数的扩张过程： 整数→有理数→实数→复数 2 图形维数的扩张过程： 现实世界的1，2，3维→更高的整数维→分数维/其他方法定义的维数 数与形作为数学研究的对象的发展都沿着以下的方向： 简单→复杂 粗略→精细 易被人类所观察到的→不易被人类所观察到的 2 ·分形几何简介 我们人类生活的世界是一个极其复杂的世界，例如，喧闹的都市生活、变幻莫测的股市变化、复杂的生命现象、蜿蜒曲折的海岸线、坑坑洼洼的地面等等，都表现了 客观世界特别丰富的现象。基于传统欧几里得几何学的各门自然科学总是把研究对象想象成一个个规则的形体，而我们生活的世界竟如此不规则和支离破碎，与欧几 里得几何图形相比，拥有完全不同层次的复杂性。分形几何则提供了一种描述这种不规则复杂现象中的秩序和结构的新方法。 3、分形几何和欧几里得集合的对比 欧几里得几何 经典的（2000多年的历史） 基于特征长度和比例 图形规则 图形的层次结构有限 局部一般不具有整体的信息 图形越复杂，背后的规则也越复杂 分形几何 现代数学的怪物（30多年的历史） 无特征长度之比 实用于大自然现象 图形不规则 图形的结构层次无限 局部往往具有整体的信息 图形越复杂，其背后的规则经常越简单 * 分维与分形 什么是分维？ 分形几何简介 分形几何与 欧氏几何的类比 Sierpinski三角形 *