（精）概率论课件-第三章 随机向量及其分布.ppt

例 设X在区间(0,1)上服从均匀分布, 而当X=x(0＜x＜1)时，Y在(x,1)上服从均匀分布，试求： (1) (X?Y)的联合密度函数f(x,y)； (2) 关于Y的边缘密度； (3) 概率P(X+Y＞1)。 解 X的密度函数为： Y的条件密度函数为： (1) (2) Y的边缘密度 y≤0或y≥1时， 0＜y＜1时， (3) 例3.2.3 设(X,Y)的联合分布如下表所示。 (1)试求{Y=1}条件下，X的条件分布列。 (2)试求{X=2}条件下，Y的条件分布列。 1 5/210 50/210 100/210 50/210 5/210 p?j 7/210 0 0 0 5/210 2/210 3 63/210 0 0 30/210 30/210 3/210 2 105/210 0 30/210 60/210 15/210 0 1 35/210 5/210 20/210 10/210 0 0 0 pi? 4 3 2 1 0 X Y (X,Y) 的联合分布 例 在整数1~5中任取一数X， (1)取X后放回去再取另一数Y。 (2)取X后不放回去再取另一数Y。 在这两种情况下分别求(X,Y)的联合分布律P{X,Y} 、边缘分布律P{X}和P{Y}以及条件分布律P{X|Y=2}。 §3.3 二维连续型随机向量 3.3.1 二维连续型随机向量的联合概率密度函数及边缘概率密度函数 对二维随机向量(X,Y)，若存在函数f(x,y)≥0, (x,y)∈R2，使得(X,Y)的联合分布函数FX,Y(x,y)是二元连续函数，且可表示为积分的形式： 则称(X,Y)是二维连续型随机向量。 称被积函数f(x,y)为二维随机变量(X,Y)的联合概率密度。 联合分布函数与联合密度函数的性质及边缘概率密度函数定义： =以任给平面区域D 为底，密度曲面为 顶的曲顶柱体体积 (二维连续随机向量落在区 域D中的概率的几何意义) (5) X和Y的边缘概率密度函数定义为 说明：性质2表明介于空间曲面f(x,y)和xOy平面间的空间区域的体积为1。 由性质3，在f(x,y)的连续点处有 例 设二维连续型随机变量(X,Y)的分布函数为 F(x,y)=(A+Barctgx)(C+arctgy) (1) 求常数A，B，C； (2) 求(X,Y)的概率密度； (3) D={(x,y):x-y＞0,x≤1} ，求P{(X,Y)∈D}。 解 (1) 由二维分布函数性质，得 由以上三式解得 (2) (X,Y)的概率密度 (3) 例3.3.1 已知二维随机向量(X,Y)的联合密度函数为 (1) 试确定k的数值。 (2) 试求(X,Y)落在区域D={(x,y)|x2≤y≤x, 0≤x≤1}的概率。 (3) 试问X与Y是否相互独立？ (2) (X,Y)落在区域D={(x,y)|x2≤y≤x,0≤x≤1}的概率 (3) 例3.3.2 (二维均匀分布定义) 设D为平面上的一个有界区域，面积为SD。若随机向量(X,Y)的概率密度函数为 则称(X,Y)服从D上的二维均匀分布。 在几何概型中，若(X,Y)为落点在D内的坐标，则(X,Y)服从D上的均匀分布。 例 设二维随机变量(X,Y)在区域D: 0≤x≤1，y2≤x内服从均匀分布，求联合概率密度函数。 解 例 设(X,Y)在椭圆 所围成的区域上服从均匀分布。即其联合概率密度为 求X，Y的边缘概率密度φX(x)，φY(y)，并证明它们不独立。 解 当︱x︱a时， 当︱x︱≤a时， 同理，可得关于Y的边缘密度 显然，φ(x,y)≠φX(x)·φY(y)，由连续随机变量独立的充要条件知， X,Y不相互独立。 例3.3.3 在某一分钟内的任何时刻，信号进入收音机是等可能的。若收到的两个相互独立的信号的时间间隔小于0.5秒，则信号将相互干扰。求一分钟内两信号相互干扰的概率。 解 把一分钟取作区间[0, 1]，设两信号进入收音机的时刻分别为X、Y(单位: 分钟) 由于X和Y相互独立，所以(X,Y)的联合概率密度为 例3.3.4 (二维正态分布) 若随机向量(X,Y)的概率密度函数为 则称(X,Y) 服从参数是 的正态分布，记为