（精）高等代数 第三版§1.3 整除的概念.ppt

* * 多项式 理论是高等数学 研究的基本对象之 一，在整个高等代数 课程中既相对独立，又 贯穿其他章节。换句话 说，多项式理论的讨论 可以不依赖于高等数学 的其他内容而自成体 系，却可为其他章节 的内容提供范例与 理论依据。 第一章 多项式 §1 数域 §2一元多项式 §3 整除的概念 §4 最大公因式 §5 因 式 分 解 §6 重 因 式 §7 多项式函数 §8 复、实系数多项式 §9 有理系数多项式 §10 多元多项式 §11 对称多项式 Higher Algebra 一、带余除法 二、整除 主要内容 对 一定存在 使 成立，其中 或 一、带余除法 定理 并且这样的 是唯一决定的． 称 　　为 　　除　　 的商，　　为　　 除　　 的余式． ① 若 则令 结论成立． ② 若 设 的次数分别为 证： 当 时， 结论成立． 显然取 即有 下面讨论　　　的情形， 假设对次数小于n的 ， 结论已成立． 先证存在性． 对 作数学归纳法． 次数为０时结论显然成立． 设　　 的首项为 的首项为 则 与 首项相同， 因而，多项式 的次数小于n或 f1为0． 若 令 即可． 若 由归纳假设，存在 使得 现在来看次数为n的情形． 其中 或者 于是 即有 使 成立． 的存在性得证． 由归纳法原理，对 再证唯一性． 若同时有 其中 其中 和 则　 即 但 矛盾． 所以 从而 唯一性得证． ＋) 附： 综合除法 的商式 和余式 可按下列计算格式求得： 这里， 若 则 除 去除 ① 求一次多项式 的商式及余式． ② 把 表成 的方幂和，即表成 的形式． 说明： 综合除法一般用于 例1 求　　 除　　 的商式和余式 解: 由　 ＋) １　　－１　　－１　　　０ １ 有　 １ 4 １ 解: ∵ 1　　０　　０　　０　　０　　０ 例２.　把 表成 的方幂和． １ １ １ １ １ １ １ １ １ １ １ １= １ 2 3 2 3 4 5= １ １ １ 1 3 6 １ 3 6 1 4 １ 4 1 1 10= 5= 10= 二、整除 1．定义 设 若存在 使 则称 整除 记作 ① 时， 称 为 的因式， 为 的倍式． ② 不能整除 时记作： ③ 允许 ，此时有 即 区别： 零多项式整除零多项式，有意义． 除数为零，无意义． ④ 当 时， 如果 则 除 所得的商可表成 定理1 2．整除的判定 3．整除的性质 1) 对 有 对 有 即，任一多项式整除它自身； 零多项式能被任一多项式整除； 零次多项式整除任一多项式． 时，　 与　　 有相同的因式和倍式． 2) 若 　　　 ，则　　　　　　　　 * * Page * * Page *