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* §1.4 最大公因式 * * * * * §4 最大公因式 §5 因式分解 §6 重因式 §10 多元多项式 §11 对称多项式 §3 整除的概念 §2 一元多项式　　　 §1 数域 §7 多项式函数 §9 有理系数多项式 §8 复、实系数多项式 的因式分解 第一章 多项式 一、公因式 最大公式 二、最大公因式的存在性与求法 三、互素 四、多个多项式的最大公因式 i) 1．公因式: 若 满足: 且 2．最大公因式: 若 满足： ii) 若 ， 且 ，则 则称 为 的最大公因式． 则称 　 为 　　　　 的公因式． 一、公因式 最大公因式 ① 的首项系数为1的最大公因式记作: 注： ② ， 是 与零多项式0的最 大公因式． ③ 两个零多项式的最大公因式为0． ④ 最大公因式不是唯一的，但首项系数为1的最大 公因式是唯一的. 若 为 的最大公因式，则 ，c为非零常数． 若 不全为零，则 二、最大公因式的存在性与求法 若等式 成立，则 与 有相同的公因式,从而 ． 引理： 定理2　对 ，在 中存在 一个最大公因式 ，且 可表成 的一个组合，即 ，使 ． 若 有一为0，如 ，则 就是一个最大公因式．且 考虑一般情形： 用 除 得： 其中 或 . 若 ，用 除 ，得： 证： 若 ，用 除 ，得 如此辗转下去，显然，所得余式的次数不断降低， 因此，有限次后，必然有余式为0．设 其中　 或 ． 即 于是我们有一串等式 从而有 再由上面倒数第二个式子开始往回迭代，逐个消去 再并项就得到 说明: ① 定理２中用来求最大公因式的方法，通常称为 辗转相除法． ② 定理２中最大公因式 中的 不唯一. ③ 对于 ， 使 ,但是 未必是 的最大公因式. 如: ，则　 取　 ，有 取　 ，也有 取　 ,也有 成立． 事实上,若 则对 ，　 ④ 若 ，且 则 为 的最大公因式． 设 为 的任一公因式，则 证： 从而 即 ∴ 为 的最大公因式． 例1 求 ，并求 使 解: 且由 得 例2. 设 求 ，并求 使 因式，即 就可以)，这是因为 　 和 具有完全相同的 若仅求 ，为了避免辗转相除时出现 注: 分数运算，可用一个数乘以除式或被除式(从一开始 为非零常数．