（精）高等代数重点技巧总结.ppt

* The Legendary Book on Linear Algebra 目录 第零章 第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 第八章 番外话 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 将打洞进行到底 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Jordan 标准形总结 秩不等式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 交结数：刻画相似程度的不变量 . . . . . . . . . . . . . . . . 16 同时上三角化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 覆盖定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 有理标准形和交换的矩阵 解题的艺术 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 I 0 番外话 先说一件很囧的事。 两年前我给北京大学化学学院一年级的学弟学妹们上高数的 习题课。 开学第一次课来了三十个人，到期末的最后一次课只剩下十三个人。 虽说习 题课不管讲的好坏都拿那份钱，学生也不会拿鸡蛋西红柿拍你，但是看着来上课的人 越来越少确实对自尊是一种打击。 特别让我印象深刻的是一个相貌气质都很不错的 MM（那十三个人之一） ，她每次课都在下面很认真的听，很安静，整个学期她只站起 来问了三次问题，但是每一次都把我问倒了。 很显然这是对我的进一步打击。 我很无 奈的承认自己不配拿那份津贴，就转行做了本学院高等代数课的助教。 这次给我打击 的是另一个很清纯的 MM。有很多次我在黑板上出了题目，然后微笑着、踱着步子显 示高深莫测的时候，她都举手表示已经做出了答案。 接下来我只能用凝固的微笑和景 仰的目光看着她在全班面前用柔柔的声音解释如何如何。 不过总的来说，我还是成功 的 Hold 住了局面，当时一个学年下来到课人数无明显下滑。 习题课上多了，自己也有一些体会。 讲课跟做题是不一样的，你必须脑子里时刻 清楚自己在讲什么，接下来要讲什么，然后把它们用平缓的节奏一遍讲正确。 你讲的 语气速度快了，或者思维有了跳跃，学生一下跟不上，那么你后面的内容他们听起 来都很茫然。 当我一时不知道说什么好的时候，我会面色如常地擦擦黑板，换换粉 笔，整理一下自己的思路，绝不轻易开口。 因为如果你不小心说错了话，那比没说要 糟糕一百倍：接下来你要用十句话来挽救你的错误，学生很可能就被绕晕了。 即使是 “嗯” “啊” “那么”这些口头禅，也会暴露你的思路的紊乱。高深莫测永远是 Hold、、 局面的不二法宝。 我曾经开玩笑地给学生说，我讲课有一个优点，就是从来没有口头 禅。 结果大家都笑了。 我不解，然后大家异口同声的告诉我：老师，你讲课有一个口 头禅，就是“很显然”（囧）。希望我在这个文档里没有再犯这个错误 :P。 本文档脱胎于以前的同名文档，经过多次修改以后与最初的版本相比已经面目全 非。 但是变薄变精炼的趋势一直没有改变。 那些武侠小说中出现的秘笈宝典，几乎无 一例外都是“薄薄的一本小册子”，因为浓缩的才是精华。 本文档也照此看齐，不求 全，但求精致，通过几个专题来体现高等代数的方法和想法。 还是那句话，与其炖上 一锅大杂烩，倒不如几样精致的小菜来得有滋味。 至于纯粹为难而难，或者为收录而 收录的内容，就不在考虑之列了。文档薄一点，也是为了激发大家速成的欲望。 本文档是本人心血之作，也算经过了教学的实践检验，因此我相信质量不会太糟， 但是错误恐怕仍然难以避免。欢迎大家来信指教：xidalapuda@126.com 1 1 将打洞进行到底 之所以把这一章作为整本书的开始，是因为打洞是矩阵里面最基本最重要的技巧， 江湖上出来混的没有不知道的，所以怎样强调它的重要性也不过分。下面这个例子就 很好地说明了什么是打洞。 定理 1.1. 设 M= ( ) A B C D 是一个方阵，其中 A 是可逆的子方阵，那么 | M| = | A|