（精）高等数学 行列式.ppt

线 性 代 数 引 言 由于实际生活中我们所研究的问题经常是关联着多个因素所引起的问题，所以需要考察多元函数。如果所研究的关联性是线性的，那么称这个问题为线性问题。历史上线性代数的第一个问题是关于解线性方程组的问题，而线性方程组理论的发展又促成了作为工具的矩阵论和行列式理论的创立与发展，这些内容已成为我们线性代数课程的主要部分。最初的线性方程组问题大都是来源于生活实践，正是实际问题刺激了线性代数这一学科的诞生与发展。 行列式出现于线性方程组的求解中，它最早是一种速记的表达式，现在已经是数学中一种非常有用的工具。行列式是由莱布尼茨和日本数学家关孝和发明的。1693年4月，莱布尼茨在写给洛比达的一封信中使用并给出了行列式，并给出方程组的系数行列式为零的条件。同时代的日本数学家关孝和在其著作《解伏题元法》中也提出了行列式的概念与算法。 1750 年，瑞士数学家克莱姆(G.Cramer) 在其著作《线性代数分析导引》中，对行列式的定义和展开法则给出了比较完整、明确的阐述，这就是我们将会学到的解线性方程组的克莱姆法则。 在行列式的发展史上，第一个对行列式理论做出连贯的逻辑阐述的人，是法国数学家范德蒙得 (A-T.Vandermonde) 。范德蒙得自幼在父亲的知道下学习音乐，但对数学有浓厚的兴趣，后来终于成为法兰西科学院院士。 特别地，他给出了用二阶子式和它们的余子式来展开行列式的法则。就对行列式本身这一点来说，他是这门理论的奠基人。在这一章中我们也将会学到他所提出的范德蒙得行列式。 继范德蒙的之后，在行列式的理论方面，又出现了柯西 、詹姆士·西尔维斯特 、雅可比等著名数学家，他们逐步建成了行列式的系统理论。而且也将行列式的理论应用到工程学、计算机科学、物理学、经济学等等多个领域。 我们用下面这个实例开始行列式这一章的学习。 1812年，法国大数学家柯西发表论文，用行列式给出了计算一些实心多面体体积的公式，并且将这些公式与先前行列式的研究结合起来。柯西所讨论的“晶体”标扩四面体和平行六面体。如：平行六面体的四个顶点坐标分别设为 一、二阶行列式 二、三阶行列式 定义：将n个不同的元素排成一列，叫做这n个元素的全排列。 例如:用1,2,3三个数字，可以组成多少个全排列？ 共有3×2×1＝6种取法，分别为 123，132，213，231，312，321 性质：n个元素的全排列共有n!种取法。 解：排列32514中： 3排在首位，所以逆序数为0， 2前有一个3比2大，逆序数为1， 5的逆序数为0， 1的逆序数为3， 4的逆序数为1， 所以此排列的逆序数为0+1+0+3+1＝5，为奇排列。 解：排列13…(2n-1)24…(2n)中： 13…(2n-1), 2n的逆序数都为0， 2n-2的逆序数为1， 2n-4的逆序数为2， ……4的逆序数为n-2， 2的逆序数为n-1 所以此排列的逆序数为 1+2+…+(n-1)=n(n-1)/2 在排列中，任意两个元素对调，其余元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换。将相邻两个元素对换，叫做相邻对换。 定理1 一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性。 再证更一般的情形： 设排列为 把它作m次相邻对换变成 ，再作m+1次相邻对换变成 ，相当于任意两个元素a与b对换，由于总共经过了2m+1次相邻对换，所以奇偶性相反。 §1.3 行列式的展开与Cramer法则 爪形行列式 例7 设 的线性方程组 的系数行列式 Cramer法则 则方程组有唯 一解,且解为: 解 方程组的系数行列式 由Cramer法则，它有唯一解。 解线性方程组 例1 同理可得 故方程组的解为: 对于齐次方程组 系数行列式 方程组只有零解 或者说： 注 由Cramer法则只能推出一半，提前用此结论。 方程组有非零解 推论 (P25例16) 问 取何值时，齐次方程组有非零解？ 解 系数行列式 按第3行展开 结论… 例2 (插值多项式的存在唯一性. P23例15的一般化)