（精）高数 第10章 习题课件.ppt

例3*. 证明: 设 (常向量) 则 单位外法线向量, 试证 设 ? 为简单闭曲面, a 为任意固定向量, n 为?的 例4. 其中 ? 为半球面 的上侧. 且取下侧 , 解: 以半球底面 原式 = P185 题4(2) , P185 题 9 同样可利用高斯公式计算. 记半球域为 ? , 高斯公式有 计算 为辅助面, 利用 例6. 设L 是平面 与柱面 的交线 从 z 轴正向看去, L 为逆时针方向, 计算 解: 记 ? 为平面 上 L 所围部分的上侧, D为?在 xoy 面上的投影. 由斯托克斯公式 例8*. 求力 沿有向闭曲线 ? 所作的 功, 其中 ? 为平面 x + y + z = 1 被三个坐标面所截成三 解法1: 从 z 轴正向看去沿顺时针方向. 利用对称性 角形的整个边界, 设三角形区域为? , 方向向上, 则 解法2 利用斯托克斯公式 * ( L. P314,3 ; L.P315,4 ; L.317,6 ) * 运行时点击“由斯托克斯公式”, 或“公式”, 可显示斯托克斯公式并自动返回. * 运行时点击“由斯托克斯公式”, 或“公式”, 可显示斯托克斯公式并自动返回. * 运行时点击按钮“利用斯托克斯公式”, 或“公式”, 可显示斯托克斯公式并自动返回. 一、曲线积分的计算法 1. 基本方法 曲线积分 第一类 ( 对弧长 ) 第二类 ( 对坐标 ) (1) 统一积分变量 转化 定积分 用参数方程 用直角坐标方程 用极坐标方程 (2) 确定积分上下限 第一类: 下小上大 第二类: 下始上终 第一类曲线积分计算方法： 第二类曲线积分计算方法： 其中 为有向曲线 上点（x，y，z）处的 切向量的方向角。 注：对于封闭曲线, 可考虑用格林公式。 例2、 计算 其中L为圆周 解法1. L的参数方程为： 则 解法2: 利用极坐标 , 原式 例3. 计算 其中L为摆线 上对应 t 从 0 到 2? 的一段弧. 解: (1) 利用对称性简化计算 ; (2) 利用积分与路径无关的等价条件; (3) 利用格林公式 (注意加辅助线的技巧) ; (4) 利用斯托克斯公式 ; (5) 利用两类曲线积分的联系公式 . 2. 基本技巧 例5. 计算 其中L 是沿逆 时针方向以原点为中心, 解法1 利用曲线积分与路径无关：令 则 这说明积分与路径无关, 故 a 为半径的上半圆周. 解法2 用格林公式 ： 它与L所围区域为D, (利用格林公式) 则 添加辅助线段 解法3 直接法： 思考题解答: 若L 改为顺时针方向,如何计算下述积分:方法之一是直接计算、方法之二用格林公式。 思考: 计算 其中L为上半圆周 解: 沿逆时针方向. 例6*. 例7 . 设在右半平面 x 0 内, 力 构成力场,其中k 为常数, 证明在此力场中 场力所作的功与所取的路径无关. 解: 令 易证 F 沿右半平面内任意有向路径 L 所作的功为 二、曲面积分的计算法 1. 基本方法 曲面积分 第一类( 对面积 ) 第二类( 对坐标 ) 转化 二重积分 第一类曲面积分计算方法： 若Σ：z=z(x，y)，则 第二类曲面积分计算方法： 若Σ：z=z(x，y)，则 Σ上侧取正号，下侧取负号。 其中α,β，γ为有向曲面Σ上点（x，y，z）处的 法向量的方向角。 注：对于封闭曲面, 可考虑用高斯公式。 2. 基本技巧 (1) 利用对称性简化计算 (2) 利用高斯公式 注意公式使用条件 添加辅助面的技巧 (辅助面一般取平行坐标面的平面) (3) 两类曲面积分的转化 例1. 设L 是平面 与柱面 的交线 从 z 轴正向看去, L 为逆时针方向, ? 为平面 解: 记 上 L 所围部分的上侧, D为?在 xoy 面上的投影. 计算 * ( L. P314,3 ; L.P315,4 ; L.317,6 ) * 运行时点击“由斯托克斯公式”, 或“公式”, 可显示斯托克斯公式并自动返回. * 运行时点击“由斯托克斯公式”, 或“公式”, 可显示斯托克斯公式并自动返回. * 运行时点击按钮“利用斯托克斯公式”, 或“公式”, 可显示斯托克斯公式并自动返回.