（精）高数2课件.ppt

* 隐藏 * 一、偏导数的定义及其计算 存在，则称此极限为函数 在点 处对 的偏导数，记为 如果， §2. 偏 导 数 * 记为， 或 * * 偏导函数简称为偏导数. 偏导函数: * 偏导数的概念可以推广到二元以上函数 如 在 处 * 解1 先求后代 解2 先代后求 * 例3：设 ，求 . 解：方法一 方法二 * 证 原结论成立． * 解 * 不存在． * 解 * 证 注： 请同学们把上述结果与一元函数导数的相应结果作一个比较. * 有关偏导数的几点说明： １、 ２、 求分段点、不连续点处的偏导数要用定义求； 解 * 例 8 解 * 按定义可知： * ３、偏导数存在与连续的关系 但函数在该点处并不连续. 偏导数存在 连续 一元函数中在某点可导 连续， 多元函数中在某点偏导数存在 连续， * 是曲线 在点 M0 处的切线 对 x 轴的斜率. 在点M0 处的切线 斜率. 是曲线 对 y 轴的 4、偏导数的几何意义 * 几何意义: * 如图 Tx Ty * 例9 求曲线 在点(2,1,3)处的切线与 正向y轴所成的倾角是多少? 解： 设所求的倾角为 * 混合偏导数 定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数. 二、高阶偏导数 三阶偏导数： * 证毕． 解 * 解 * 例12 设 ,求 解 例13 设 求 解 * 解 注意:此处 但这一结论并不总成立. * 问题： 混合偏导数都相等吗？ 例 15 解 * 按定义可知： * 问题： 具备怎样的条件才能使混合偏导数相等？ 则 定理. 例如, 对三元函数 u = f (x , y , z) , 说明: 本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立. 函数在其定义区域内是连续的 , 故求初等函数的高阶导 数可以选择方便的求导顺序. 因为初等函数的偏导数仍为初等函数 , 当三阶混合偏导数 在点 (x , y , z) 连续时, 有 而初等 (证明略) * 例 16 设 方程 确定 u 是 x , y 的函数 , 连续, 且 求 解: * 偏导数的定义 偏导数的计算、偏导数的几何意义 高阶偏导数 （偏增量比的极限） （混合偏导相等的条件） 小 结 思考题 * 思考题解答 不能. 例如,