（精）高数第二学期重修考试考点.ppt

例6练习 * 由此定理可以看出 , 函数展成傅立叶级数的条件比展成幂级数的条件低得多. 这正是傅立叶级数具有广泛应用的重要原因 . 运行时, 点击相片, 或按钮“简介”, 可显示狄利克雷的简介, 并自动返回. 例. 设 C 为沿 从点 依逆时针 的半圆, 计算 解: 添加辅助线如图 , 利用格林公式 . 原式 = 到点 计算 其中L为上半圆周 提示: 沿逆时针方向. 例. (1)根据曲面方程化为二重积分 6.第一类曲面积分的计算 当 时， (2)要结合利用第一类曲面积分的性质简化计算 曲面方程可带入被积函数 可使用对称性与轮换对称性 例. 计算 其中? 是由平面 坐标面所围成的四面体的表面. 解: 设 上的部分, 则 与 原式 = 分别表示? 在平面 7.高斯公式 定理. 设空间闭区域 ? 由分片光滑的闭曲 ? 上有连续的一阶偏导数 , 函数 P, Q, R 在 面? 所围成, ? 的方向取外侧, 则有 (Gauss 公式) 高斯公式条件 曲面封闭性 曲面外侧 偏导连续性 加面法 考虑反方向 挖洞法 其中 ? 为半球面 的上侧. 原式= 例：计算 解: 作取下侧的辅助面 其中 ? 为半球面 的上侧. 原式= 例：计算 解: 作取下侧的辅助面 8.向量场的散度 设 散度: 则 例: 设矢量场 2 三重积分 可利用对称性的为 第一类曲线积分 第一类曲面积分 注: 特别是上述积分中的被积函数含有奇函数时 9.对称性 定积分 二重积分 例. 设 一卦限中的部分, 则有( ). 与z=0所围成, （A） （B） （C） （D） C 例. 设 一卦限中的部分, 则有( ). 三、级数: 1. 级数敛散性判别法 2.求幂级数的收敛域及和函数 3.函数在某一点展开成幂级数 4.求函数的傅里叶级数展开式的和函数 1. 级数敛散性判别法 正项级数的比较判别法的极限形式： 正项级数的比值判别法 交错级数的Leibniz判别法 定理. (比较判别法的极限形式) 则有 两个级数同时收敛或发散 ; (2) 当 l = 0 (3) 当 l =∞ 设两正项级数 满足 (1) 当 0 l ∞ 时, 的敛散性. ～ 例. 判别级数 的敛散性 . 解: 根据比较审敛法的极限形式知 例. 判别级数 解: 根据比较审敛法的极限形式知 ～ 定理 . 比值判别法 设 为正项级数, 且 则 (1) 当 (2) 当 时, 级数收敛 ; 或 时, 级数发散 . 用比值法, 可判断级数 收敛, 答案：C Leibniz判别法: 若 且 则交错级数 收敛 . 求幂级数收敛域的方法: 对标准型幂级数 先求收敛半径 ： 再讨论端点的收敛性 . 2.求幂级数的收敛域及和函数 例 求下列幂级数的收敛域: 解 该级数收敛 该级数发散 定理 若幂级数 的收敛半径 则其和函 在收敛域上连续, 且在收敛区间内可逐项求导与 逐项求积分, 运算前后收敛半径相同: 注: 逐项积分时, 运算前后端点处的敛散性不变. 先求收敛域 然后在收敛区间上可逐项求导或逐项求积分转化为已知和函数的幂级数， 再求积分或求导求出原幂级数的和函数 最后要写出整个收敛域上的和函数表达式 求幂级数的和函数步骤： 例. 的和函数 解: 易求出幂级数的收敛半径为 1 , x＝±1 时级数发 散, 例. 求级数 的和函数 解: 易求出幂级数的收敛域为 并求 3. 函数在某一点展开成幂级数 步骤： 首先将f(x)化为a(x-x0)因式 然后把a(x-x0)看成一个整体直接利用已知函数的展开式即可 若结果为两个幂级数的线性组合则能必须合并，即结果应是幂级数的标准形式 最后再根据已知函数展开式的收敛域求新收敛域 常用函数的幂级数展开式： 例. 将 展成 x－1 的幂级数. 解: 定理 (收敛定理, 展开定理) 设 f (x) 是周期为2?的 周期函数, 并满足狄利克雷( Dirichlet )条件: 则 f (x) 的傅里叶级数收敛 , 且有 x 为间断点 其中 为 f (x) 的傅里叶系数 . x 为连续点 4.求函数的傅里叶级数展开式的和函数 定义在[–? ,?]上的函数 f (x) x 为 间断点 x 为 连续点 例： 的傅里叶级数的和函数 .则 答案: D 为以 为周期的函数 处收敛于 例. 则它的傅里叶级数在 在 处收敛于 . 提示: 设周期函数在一个周期内的表达式为 , 例. 写出函数 傅氏级数的和函数 . 答案: 考试时间: 12月21日周六下午2: