（精）高数微积分中值定理.ppt

中值定理与导数的应用 微分中值定理与导数的应用 一、罗尔(Rolle)定理 二、拉格朗日(Lagrange)中值定理 例. 证明不等式 三、柯西(Cauchy)中值定理 证: 作辅助函数 柯西定理的几何意义: 例. 试证至少存在一点 例. 试证至少存在一点 内容小结 或将结论交叉相乘得 换成 辅助函数F(x) 证 设辅助函数 因此F(x)满足Rolle定理的条件. 即 得 证毕. 分析 即证 要证 证明: 对任意的实数k, 设f (x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导, 且 证 即 证明: 对任意的实数k, 设f (x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导, 且 由Rolle定理 试证必存在 设函数 f (x)在[0, 3]上连续,在(0, 3)内可导, 证 因为 f (x)在[0, 3]上连续, 且在[0, 2]上必有最大值M和最小值m, 于是 故 由介值定理知,至少存在一点 使 所以f (x)在[0, 2]上连续, 因为 且 f (x)在[c, 3]上连续, 在(c, 3)内可导, 所以由Rolle定理知, 必存在 以下4题目较难 试证: 存在 设函数 f (x), g(x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内 证 设f (x), g(x)在(a, b)内最大值M分别在 取得. 由零点定理, 至少介于 使得 具有二阶导数且存在相等的最大值, 令 则 因此由罗尔定理, 存在 使得 再由罗尔定理, 存在 使得 即 (1) 证明拉格朗日中值定理: 若函数 f (x)在 [a, b]上连续, 在(a, b)内可导, 则存在 (2) 证明: 证 (1) 取 由题意知F(x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导, 且 由Rolle定理, 即 (2) 证明: 证 (2) 对于任意的 函数 f (x)在[0, t]上 由右导数定义及拉格朗日中 上连续, 在(0, t)内可导, 值定理 所以 使 证: 法1 用柯西中值定理 . 则 f (x) , g(x) 在 [ 1 , e ] 上满足柯西中值定理条件, 令 因此 即 分析: * 第 3 章 第一节 中值定理 一、罗尔(Rolle)定理 二、拉格朗日(Lagrange)中值定理 三、柯西(Cauchy)中值定理 1.函数极值的定义 定义: 函数的极大值与极小值统称为极值, 使函数取得极值的点称为极值点. 注： （1）极值的概念是局部性的 （2）有的极大值可能比极小值还小 （3）取得极值处，曲线的切线是水平的，即极值点处 导数为零。 但是注意导数为零处，即有水平切线处，不一定取得 极值，例如图中的 点处 2. 费马(fermat)引理 且 存在 证: 设 则 证毕 存在 3. 驻点：导数等于零的点。 注： （1）极值点要么是驻点，要么是不可导点 （2）驻点不一定是极值点 费马引理的几何意义： 几何解释: 例如, 证 注意: 定理条件不全具备, 结论不一定成立. 例如, 例 证 (1) (2) 验证定理的假设条件满足 验证结论正确 验证罗尔定理的正确性. 罗尔定理肯定了 的存在性, 一般没必要知道 究竟等于什么数, 只要知道 存在即可. * 例 试证方程 分析 注意到: * 证 设 且 罗尔定理 即 试证方程 例 证: 由介值定理 即为方程的小于1的正实根. 矛盾, 几何解释: 证 分析: 弦AB方程为 作辅助函数 拉格朗日中值公式 注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量 与函数在这区间内某点处的导数之间的关系. 拉格朗日中值定理又称有限增量定理. 拉格朗日中值公式又称有限增量公式. 微分中值定理 推论 证: 在 I 上任取两点 氏中值公式 , 得 由 的任意性知, 在 I 上为常数 . 例 证 自证: 经验: 欲证 时 只需证在 I 上 证: 设 中值定理条件, 即 因为 故 因此应有 或 几何解释: 分析: 要证 且 使 即 由罗尔定理知, 至少存在一点 思考: 柯西定理的下述证法对吗 ? 两个 ? 不 一定相同 错! 上面两式相比即得结论. 注意: 弦的斜率 切线斜率 拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特例： 例： 证： 分析: 结论可变形为 罗尔 定理 拉格朗日 中值定理 柯西 中值定理 罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理、柯西(Cauchy)中值定理之间的关系: 推广 推广 这三个定理的条件都是充分条件, 换句话说, 满足条件,