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第17章 平面图 本章说明 本章所涉及到的图均指无向图。 17.1 平面图的基本概念 17.2 欧拉公式 17.3 平面图的判断 17.4 平面图的对偶图 本章小结 习 题 作 业 17.1 平面图的基本概念 （2）是（1）的平面嵌入，（4）是（3）的平面嵌入。 2、 几点说明及一些简单结论 一般所谈平面图不一定是指平面嵌入，但讨论某些性质时，一定是指平面嵌入。 K5和K3,3都不是平面图。 定理17.1 设G??G，若G为平面图，则G?也是平面图。 设G??G，若G?为非平面图，则G也是非平面图。 由定理可知， Kn(n?5)和K3,n(n?3)都是非平面图。 定理17.2 若G为平面图，则在G中加平行边或环所得图还是平面图。即平行边和环不影响图的平面性。 二、平面图的面与次数（针对平面图的平面嵌入） 1、 定义 定义17.2 设G是平面图， G的面——由G的边将G所在的平面划分成的每一个区域。 无限面（外部面）——面积无限的面，记作R0。 有限面（内部面）——面积有限的面 ，记作R1, R2, …, Rk。 面Ri的边界——包围面Ri的所有边组成的回路组。 面Ri的次数——Ri边界的长度，记作deg(Ri)。 2、几点说明 若平面图G有k个面，可笼统地用R1, R2, …, Rk表示，不需要指出外部面。 回路组是指：边界可能是初级回路（圈），可能是简单回路，也可能是复杂回路。特别地，还可能是非连通的回路之并。 定理17.3 平面图G中所有面的次数之和等于边数m的两倍，即 三、极大平面图 1、 定义 定义17.3 若在简单平面图G中的任意两个不相邻的顶点之间加一条新边所得图为非平面图，则称G为极大平面图。 注意：若简单平面图G中已无不相邻顶点，G显然是极大平面图，如K1（平凡图）, K2, K3, K4都是极大平面图。 2、极大平面图的主要性质 定理17.4 极大平面图是连通的，并且n(n?3)阶极大平面图中不可能有割点和桥。 定理17.5 设G为n(n?3) )阶简单连通的平面图，G为极大平面图当且仅当G的每个面的次数均为3。 只有右边的图为极大平面图。 因为只有该图每个面的次数都为3。 四、极小非平面图 定义17.4 若在非平面图G中任意删除一条边，所得图G?为平面图，则称G为极小非平面图。 由定义不难看出： K5, K3,3都是极小非平面图。 极小非平面图必为简单图。 例如：以下各图均为极小非平面图。 17.2 欧拉公式 一、欧拉公式相关定理 1、 欧拉公式 定理17.6 对于任意的连通的平面图G，有 n-m+r=2其中，n、m、r分别为G的顶点数、边数和面数。 (3)设m＝k(k≥1)时成立，当m＝k+1时，对G进行如下讨论。 若G是树，则G是非平凡的，因而G中至少有两片树叶。 设v为树叶，令G=G-v，则G仍然是连通图，且G的边数m=m-1=k，n=n-1，r=r。 由假设可知 n-m+r=2，式中n，m，r分别为G的顶点数，边数和面数。 于是n-m+r=(n+1)-(m+1)+r=n-m+r=2 若G不是树，则G中含圈。 设边e在G中某个圈上，令G=G-e，则G仍连通且m=m-1=k， n=n，r=r-1。 由假设有 n-m+r=2。 于是 n-m+r=n-(m+1)-(r+1)=n-m+r=2 定理17.7 对于具有k(k≥2)个连通分支的平面图G，有 n-m+r = k+1其中n，m，r分别为G的顶点数，边数和面数。 2、 与欧拉公式有关的定理 定理17.8 设G为连通的平面图，且每个面的次数至少为l(l?3)，则 G的边数与顶点数有如下关系： 推论 K5, K3,3不是平面图。 定理17.9 设G是有k(k≥2)个连通分支的平面图，各面的次数至少为l(l≥3)，则边数m与顶点数n应有如下关系： 定理17.11 设G为n(n?3)阶m条边的极大平面图，则m=3n?6。 二、一个意义重大的定理 定理17.12 设G为简单平面图，则G的最小度?(G)?5。 17.3 平面图的判断 2、图之间的同胚 若两个图G1与G2同构，或通过反复插入或消去2度顶点后是同构的，则称G1与G2是同胚的。 二、两个判断定理 定理17.13(库拉图斯基定理1) 图G是平面图当且仅当G中既不含与K5同胚子图，也不含与K3,3同胚子图。 定理17.14(库拉图斯基定理2) 图G是平面图当且仅当G中既没有可以收缩到K5的子图，也没有可以收缩到K3,3的子图。 例17.1 证明彼得